{VERSION 6 0 "IBM INTEL NT" "6.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 23 "Courier" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 }{CSTYLE " " -1 35 "" 0 1 104 64 92 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Blue Emphasis " -1 256 "Times" 0 0 0 0 255 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Green Emp hasis" -1 257 "Times" 1 12 0 128 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Mar oon Emphasis" -1 258 "Times" 1 12 128 0 128 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "Dark Red Emphasis" -1 259 "Times" 1 12 128 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Purple Emphasis" -1 260 "Times" 1 12 102 0 230 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Red Emphasis" -1 261 "Times" 1 12 255 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Grey Emphasis" -1 262 "Times" 1 12 96 52 84 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Magenta Emphasis" -1 263 "Times " 1 12 200 0 200 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Orange Emphasis" -1 264 "Times" 1 12 225 100 10 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 " System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 273 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 274 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 275 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 276 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 277 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 278 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 279 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 280 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 281 "System" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 282 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 283 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 284 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 285 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 286 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 1" -1 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times " 1 18 0 0 128 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 4 3 0 3 0 2 2 0 1 } {PSTYLE "Heading 2" -1 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 128 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 8 2 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output " -1 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 } 3 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Maple Output" -1 12 1 {CSTYLE " " -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 3 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }3 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal " -1 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 } 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 12 0 0 0 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }} {SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 76 "Evaluating order conditions of an explicit Runge-Kutta method using matrices" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "by Peter Stone, Gabriola Island, B.C., Canada " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Version: 13.10.2010" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 53 "l oad procedures for constructing Runge-Kutta schemes " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 17 "The Maple m-file " }{TEXT 262 9 "butcher.m" }{TEXT -1 32 " is required by this worksheet. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 135 " It can be read into a Maple session by a command similar to the one th at follows, where the file path gives the location of the m-file." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "read \"C:\\\\Maple/procdrs/b utcher.m\";" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#-------------------------------------------------------------- -----------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 24 "Summat ion using matrices" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "For an explicit Runge-Kutta scheme with nodes " } {XPPEDIT 18 0 "c[1]=0" "6#/&%\"cG6#\"\"\"\"\"!" }{TEXT -1 3 ", " } {XPPEDIT 18 0 "c[1]" "6#&%\"cG6#\"\"\"" }{TEXT -1 7 " . . " } {XPPEDIT 18 0 "c[n]" "6#&%\"cG6#%\"nG" }{TEXT -1 11 " weights " } {XPPEDIT 18 0 "b[1]" "6#&%\"bG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 ", " }{XPPEDIT 18 0 "b[2]" "6#&%\"bG6#\"\"#" }{TEXT -1 7 " . . " }{XPPEDIT 18 0 "b[ n]" "6#&%\"bG6#%\"nG" }{TEXT -1 27 ", a double sum of the form " }} {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(b[i]*Sum(a[i,j]*c [j],j = 1 .. i-1),i = 1 .. n);" "6#-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F$6$ *&&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F2F+/F2;F+,&F*F+F+!\"\"F+/F*;F+%\"nG" } {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "can be found using matri x multiplication as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Form the lower triagular matrix of linking coef ficients: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "A = matrix([[0, 0, ` . . `, 0, 0], [a[2 ,1], 0, ` . . `, 0, 0], [a[3,1], a[3,2], ` . . `, 0, 0], [ `.`, `.`, ` . . `, `.`, `.`], [`.`, `.`, ` . . `, `.`, `.` ], [a[n,1], a[n,2], ` . . `, a[n,n-1], 0]]);" "6#/%\"AG-%'matrix G6#7(7'\"\"!F*%,~~~.~~~~.~~GF*F*7'&%\"aG6$\"\"#\"\"\"F*F+F*F*7'&F.6$\" \"$F1&F.6$F5F0F+F*F*7'%\".GF9F+F9F97'F9F9F+F9F97'&F.6$%\"nGF1&F.6$F>F0 F+&F.6$F>,&F>F1F1!\"\"F*" }{TEXT -1 2 " ," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "the row vector, or 1 " }{TEXT 265 1 "x" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 266 1 "n" }{TEXT -1 21 " matrix ,of \+ weights " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "B = matri x([[` `, ` `, ` `, ` `], [b[1], b[2], ` . . `, b[n]] , [` `, ` `, ` `, ` `]]);" "6#/%\"BG-%'matrixG6#7%7&%%~~~~ GF*F*F*7&&%\"bG6#\"\"\"&F-6#\"\"#%,~~~.~~~.~~~G&F-6#%\"nG7&F*F*F*F*" } {TEXT -1 3 " , " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "the diagonal, or " } {TEXT 269 1 "n" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 267 1 "x" }{TEXT -1 1 " " } {TEXT 268 1 "n" }{TEXT -1 19 " matrix, of nodes " }}{PARA 256 "" 0 " " {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "C = matrix([[c[1] = 0, 0, ` . . `, 0, 0], [0, c[2], ` . . `, 0, 0], [0, 0, ` . . `, 0, 0], [`.`, `.`, ` . . `, `.`, ` . `], [`.`, `.`, ` . . `, `.`, ` . `], [0, 0, ` . . `, 0, c[n]]]);" "6#/% \"CG-%'matrixG6#7(7'/&%\"cG6#\"\"\"\"\"!F/%.~~~~.~~~~.~~~GF/F/7'F/&F,6 #\"\"#F0F/F/7'F/F/F0F/F/7'%\".GF7F0F7%(~~~.~~~G7'F7F7F0F7F87'F/F/F0F/& F,6#%\"nG" }{TEXT -1 3 " , " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "and the co lumn vector, or " }{TEXT 278 1 "n" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 277 1 "x" } {TEXT -1 34 " 1 matrix whose entries are all 1:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "id=ma trix([[1],[1],[`.`],[`.`],[1]])" "6#/%#idG-%'matrixG6#7'7#\"\"\"7#F*7# %\".G7#F-7#F*" }{TEXT -1 3 " . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Then " }} {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(b[i]*Sum(a[i,j]*c [j],j = 1 .. i-1),i = 1 .. n)" "6#-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F$6$* &&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F2F+/F2;F+,&F*F+F+!\"\"F+/F*;F+%\"nG" } {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "is the single entry of t he 1 x 1 matrix given by the product: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 7 "Example" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "Sum(b[i]*Sum(a[i,j]*c[j],j=1..i-1), i=1..7);\nsubs(c[1]=0,value(%));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-% $SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F$6$*&&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F2F+/F2;F+ ,&F*F+F+!\"\"F+/F*;F+\"\"(" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,,*(&%\" bG6#\"\"$\"\"\"&%\"aG6$F(\"\"#F)&%\"cG6#F-F)F)*&&F&6#\"\"%F),&*&&F+6$F 4F-F)F.F)F)*&&F+6$F4F(F)&F/F'F)F)F)F)*&&F&6#\"\"&F),(*&&F+6$F@F-F)F.F) F)*&&F+6$F@F(F)F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 190 "A := Matrix([seq([seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..7)],i=1..7)]): \nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..7)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMatri x]([0,seq(c[i],i=2..7)]):\nid := Matrix([seq([1],i=1..7)]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "(B .A.C.id)[1,1];\n``;\ncollect(%%,[seq(b[i],i=3..7)]);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,,*&,,*&&%\"bG6#\"\"$\"\"\"&%\"aG6$F*\"\"#F+F+*&&F(6 #\"\"%F+&F-6$F3F/F+F+*&&F(6#\"\"&F+&F-6$F9F/F+F+*&&F(6#\"\"'F+&F-6$F?F /F+F+*&&F(6#\"\"(F+&F-6$FEF/F+F+F+&%\"cG6#F/F+F+*&,**&F1F+&F-6$F3F*F+F +*&F7F+&F-6$F9F*F+F+*&F=F+&F-6$F?F*F+F+*&FCF+&F-6$FEF*F+F+F+&FIF)F+F+* &,(*&F7F+&F-6$F9F3F+F+*&F=F+&F-6$F?F3F+F+*&FCF+&F-6$FEF3F+F+F+&FIF2F+F +*&,&*&F=F+&F-6$F?F9F+F+*&FCF+&F-6$FEF9F+F+F+&FIF8F+F+*(FCF+&F-6$FEF?F +&FIF>F+F+" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%!G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,,*(&%\"aG6$\"\"$\"\"#\"\"\"&%\"cG6#F)F*&%\"bG6#F(F*F** &,&*&&F&6$\"\"%F(F*&F,F0F*F**&&F&6$F6F)F*F+F*F*F*&F/6#F6F*F**&,(*&&F&6 $\"\"&F)F*F+F*F**&&F&6$FBF(F*F7F*F**&&F&6$FBF6F*&F,F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 163 "[B,A,C,id]:op(map(con vert,%,matrix));\n``;\n[B,A.C,id]:op(map(convert,%,matrix));\n``;\n[B. A.C,id]:op(map(convert,%,matrix));\n``;\n[B.A.C.id]:op(map(convert,%,m atrix));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6&K%'matrixG6#7#7)&%\"bG6#\" \"\"&F)6#\"\"#&F)6#\"\"$&F)6#\"\"%&F)6#\"\"&&F)6#\"\"'&F)6#\"\"(Q(ppri nt66\"KF$6#7)7)\"\"!FDFDFDFDFDFD7)&%\"aG6$F.F+FDFDFDFDFDFD7)&FG6$F1F+& FG6$F1F.FDFDFDFDFD7)&FG6$F4F+&FG6$F4F.&FG6$F4F1FDFDFDFD7)&FG6$F7F+&FG6 $F7F.&FG6$F7F1&FG6$F7F4FDFDFD7)&FG6$F:F+&FG6$F:F.&FG6$F:F1&FG6$F:F4&FG 6$F:F7FDFD7)&FG6$F=F+&FG6$F=F.&FG6$F=F1&FG6$F=F4&FG6$F=F7&FG6$F=F:FDQ( pprint7F?KF$6#7)FC7)FD&%\"cGF-FDFDFDFDFD7)FDFD&FfpF0FDFDFDFD7)FDFDFD&F fpF3FDFDFD7)FDFDFDFD&FfpF6FDFD7)FDFDFDFDFD&FfpF9FD7)FDFDFDFDFDFD&FfpF< Q(pprint8F?KF$6#7)7#F+FeqFeqFeqFeqFeqFeqQ(pprint9F?" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#%!G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%K%'matrixG6#7# 7)&%\"bG6#\"\"\"&F)6#\"\"#&F)6#\"\"$&F)6#\"\"%&F)6#\"\"&&F)6#\"\"'&F)6 #\"\"(Q)pprint106\"KF$6#7)7)\"\"!FDFDFDFDFDFDFC7)FD*&&%\"aG6$F1F.F+&% \"cGF-F+FDFDFDFDFD7)FD*&&FH6$F4F.F+FJF+*&&FH6$F4F1F+&FKF0F+FDFDFDFD7)F D*&&FH6$F7F.F+FJF+*&&FH6$F7F1F+FSF+*&&FH6$F7F4F+&FKF3F+FDFDFD7)FD*&&FH 6$F:F.F+FJF+*&&FH6$F:F1F+FSF+*&&FH6$F:F4F+FhnF+*&&FH6$F:F7F+&FKF6F+FDF D7)FD*&&FH6$F=F.F+FJF+*&&FH6$F=F1F+FSF+*&&FH6$F=F4F+FhnF+*&&FH6$F=F7F+ FfoF+*&&FH6$F=F:F+&FKF9F+FDQ)pprint11F?KF$6#7)7#F+F\\qF\\qF\\qF\\qF\\q F\\qQ)pprint12F?" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%!G" }}{PARA 12 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6$K%'matrixG6#7#7)\"\"!*&,,*&&%\"bG6#\"\"$\"\"\"&% \"aG6$F/\"\"#F0F0*&&F-6#\"\"%F0&F26$F8F4F0F0*&&F-6#\"\"&F0&F26$F>F4F0F 0*&&F-6#\"\"'F0&F26$FDF4F0F0*&&F-6#\"\"(F0&F26$FJF4F0F0F0&%\"cG6#F4F0* &,**&F6F0&F26$F8F/F0F0*&FF/F0F0*&FBF0&F26$FDF/F0F0*&FHF0&F26 $FJF/F0F0F0&FNF.F0*&,(*&FF8F0F0*&FBF0&F26$FDF8F0F0*&FHF0&F26 $FJF8F0F0F0&FNF7F0*&,&*&FBF0&F26$FDF>F0F0*&FHF0&F26$FJF>F0F0F0&FNF=F0* (FHF0&F26$FJFDF0&FNFCF0F(Q)pprint136\"KF$6#7)7#F0FgpFgpFgpFgpFgpFgpQ)p print14Fcp" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#%!G" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7#7#,,*&,,*&&%\"bG6#\"\"$\"\"\"&%\"aG6$F/\" \"#F0F0*&&F-6#\"\"%F0&F26$F8F4F0F0*&&F-6#\"\"&F0&F26$F>F4F0F0*&&F-6#\" \"'F0&F26$FDF4F0F0*&&F-6#\"\"(F0&F26$FJF4F0F0F0&%\"cG6#F4F0F0*&,**&F6F 0&F26$F8F/F0F0*&FF/F0F0*&FBF0&F26$FDF/F0F0*&FHF0&F26$FJF/F0F 0F0&FNF.F0F0*&,(*&FF8F0F0*&FBF0&F26$FDF8F0F0*&FHF0&F26$FJF8F 0F0F0&FNF7F0F0*&,&*&FBF0&F26$FDF>F0F0*&FHF0&F26$FJF>F0F0F0&FNF=F0F0*(F HF0&F26$FJFDF0&FNFCF0F0Q)pprint156\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 167 "An alternative way to ob tain the result using matrix operations involves summing the rows of a matrix and placing the results as diagonal entries in a diagonal matr ix." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Denoting this matrix operation by \+ H we have:" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "A*C = m atrix([[0, 0, 0, ` . . `, 0, 0], [a[2,1]*c[1] = 0, 0, 0, ` . \+ . `, 0, 0], [a[3,1]*c[1] = 0, a[3,2]*c[2], 0, ` . . `, 0, 0], [a[4,1]*c[1] = 0, a[4,2]*c[2], a[4,3]*c[3], ` . . `, 0, 0], [`. `, `.`, `.`, ` . . `, `.`, `.`], [`.`, `.`, `.`, ` . . `, \+ `.`, `.`], [a[n,1]*c[1] = 0, a[n,2]*c[2], a[n-3]*c[3], ` . . `, \+ a[n,n-1]*c[n-1], 0]])" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"CGF&-%'matrixG6#7)7(\"\"!F- F-%,~~~.~~~~.~~GF-F-7(/*&&%\"aG6$\"\"#F&F&&%\"cG6#F&F&F-F-F-F.F-F-7(/* &&F36$\"\"$F&F&&F76#F&F&F-*&&F36$F>F5F&&F76#F5F&F-F.F-F-7(/*&&F36$\"\" %F&F&&F76#F&F&F-*&&F36$FKF5F&&F76#F5F&*&&F36$FKF>F&&F76#F>F&F.F-F-7(% \".GFYFYF.FYFY7(FYFYFYF.FYFY7(/*&&F36$%\"nGF&F&&F76#F&F&F-*&&F36$FjnF5 F&&F76#F5F&*&&F36#,&FjnF&F>!\"\"F&&F76#F>F&F.*&&F36$Fjn,&FjnF&F&FfoF&& F76#,&FjnF&F&FfoF&F-" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {XPPEDIT 18 0 "H(A*C) = matrix([[0, 0, 0, 0,` . . `, 0, 0], [0, \+ 0, 0,0, ` . . `, 0, 0], [ 0, 0, a[3,2]*c[2],0, ` . . `, 0, 0], [0, 0, 0,a[4,2]*c[2]+a[4,3]*c[3],` . . `, 0, 0], [`.`, `.`, `.`,`.`, ` . . `, `.`, `.`], [`.`,`.`, `.`, `.`, ` . . `, `.`, `.`], [0, 0, 0,0, ` . . `, 0, Sum(a[n,j]*c[j],j = 1 .. n-1 )]] )" "6#/-%\"HG6#*&%\"AG\"\"\"%\"CGF)-%'matrixG6#7)7)\"\"!F0F0F0%,~~ ~.~~~~.~~GF0F07)F0F0F0F0F1F0F07)F0F0*&&%\"aG6$\"\"$\"\"#F)&%\"cG6#F9F) F0F1F0F07)F0F0F0,&*&&F66$\"\"%F9F)&F;6#F9F)F)*&&F66$FBF8F)&F;6#F8F)F)F 1F0F07)%\".GFKFKFKF1FKFK7)FKFKFKFKF1FKFK7)F0F0F0F0F1F0-%$SumG6$*&&F66$ %\"nG%\"jGF)&F;6#FUF)/FU;F),&FTF)F)!\"\"" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "The entry in the \+ " }{TEXT 270 1 "i" }{TEXT -1 43 " th place downwards along the diagona l is: " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(a[i,j]* c[j],j = 1 .. i-1);" "6#-%$SumG6$*&&%\"aG6$%\"iG%\"jG\"\"\"&%\"cG6#F+F ,/F+;F,,&F*F,F,!\"\"" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "M ultiplying with the 1 " }{TEXT 271 1 "x" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 273 1 "n" }{TEXT -1 9 " matrix " }{TEXT 272 1 "B" }{TEXT -1 24 " on the lef t gives a 1 " }{TEXT 274 1 "x" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 275 1 "n" } {TEXT -1 9 " matrix " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "[` `*0, ` `*0, ` `*b[3]*a[3,2]*c[2], ` `*b[4]*(a[4,3]*c[ 3]+a[4,2]*c[2]), ` . . `, b[n]*Sum(a[i,j]*c[j],j = 1 .. n- 1)*` `];" "6#7(*&%$~~~G\"\"\"\"\"!F&*&F%F&F'F&**F%F&&%\"bG6#\"\"$F&& %\"aG6$F-\"\"#F&&%\"cG6#F1F&*(F%F&&F+6#\"\"%F&,&*&&F/6$F8F-F&&F36#F-F& F&*&&F/6$F8F1F&&F36#F1F&F&F&%2~~~~~~.~~~.~~~~~~G*(&F+6#%\"nGF&-%$SumG6 $*&&F/6$%\"iG%\"jGF&&F36#FPF&/FP;F&,&FHF&F&!\"\"F&F%F&" }{TEXT -1 3 " \+ . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "The \+ " }{TEXT 276 1 "i" }{TEXT -1 13 " th entry is " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "b[i]*Sum(a[i,j]*c[j],j = 1 .. i-1);" "6 #*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-%$SumG6$*&&%\"aG6$F'%\"jGF(&%\"cG6#F0F(/F0;F(,& F'F(F(!\"\"F(" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Multipl ying on the right by the column vector, or " }{TEXT 280 1 "n" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 279 1 "x" }{TEXT -1 34 " 1 matrix whose entries are al l 1:" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "id=matrix([[1 ],[1],[`.`],[`.`],[1]])" "6#/%#idG-%'matrixG6#7'7#\"\"\"7#F*7#%\".G7#F -7#F*" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "gives the 1 " } {TEXT 281 1 "x" }{TEXT -1 32 " 1 matrix with the single entry " }} {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(b[i]*Sum(a[i,j]*c [j],j = 1 .. i-1),i = 1 .. n)" "6#-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F$6$* &&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F2F+/F2;F+,&F*F+F+!\"\"F+/F*;F+%\"nG" } {TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Example " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 190 "A := Matrix([seq([seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..7)],i=1..7) ]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..7)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMa trix]([0,seq(c[i],i=2..7)]):\nid := Matrix([seq([1],i=1..7)]):" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 146 "Summing \+ the rows of a square matrix and placing these sums along the diagonal \+ of a diagonal matrix can be achieved using the following procedure " }{TEXT 0 10 "RowSumDiag" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "RowSumDiag := proc( U)\n LinearAlgebra[DiagonalMatrix](ListTools[Flatten](convert((U.id) ,listlist)))\nend proc:\nH := RowSumDiag:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 199 "[B,A,C,id]:op(map (convert,%,matrix));\n``;\n[B,RowSumDiag(A.C),id]:op(map(convert,%,mat rix));\n``;\n[B.RowSumDiag(A.C),id]:op(map(convert,%,matrix));\n``;\n[ B.RowSumDiag(A.C).id]:op(map(convert,%,matrix));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6&K%'matrixG6#7#7)&%\"bG6#\"\"\"&F)6#\"\"#&F)6#\"\"$&F)6# \"\"%&F)6#\"\"&&F)6#\"\"'&F)6#\"\"(Q)pprint226\"KF$6#7)7)\"\"!FDFDFDFD FDFD7)&%\"aG6$F.F+FDFDFDFDFDFD7)&FG6$F1F+&FG6$F1F.FDFDFDFDFD7)&FG6$F4F +&FG6$F4F.&FG6$F4F1FDFDFDFD7)&FG6$F7F+&FG6$F7F.&FG6$F7F1&FG6$F7F4FDFDF D7)&FG6$F:F+&FG6$F:F.&FG6$F:F1&FG6$F:F4&FG6$F:F7FDFD7)&FG6$F=F+&FG6$F= F.&FG6$F=F1&FG6$F=F4&FG6$F=F7&FG6$F=F:FDQ)pprint23F?KF$6#7)FC7)FD&%\"c GF-FDFDFDFDFD7)FDFD&FfpF0FDFDFDFD7)FDFDFD&FfpF3FDFDFD7)FDFDFDFD&FfpF6F DFD7)FDFDFDFDFD&FfpF9FD7)FDFDFDFDFDFD&FfpF " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#-------------------------------------------------------------- -----------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Evalua ting a (non-simple) order condition" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Consider the order 7 order condition:" } }{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(b[i]*Sum(a[i,j]* c[j],j = 1 .. i-1)^3,i = 1 .. 9) = 1/56" "6#/-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG \"\"\"*$-F%6$*&&%\"aG6$F+%\"jGF,&%\"cG6#F4F,/F4;F,,&F+F,F,!\"\"\"\"$F, /F+;F,\"\"**&F,F,\"#cF;" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 " for a 9 stage explicit Runge-Kutta scheme. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "Let " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "B = matrix([[` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` \+ `, ` `], [b[1], b[2],b[3], b[4],b[5], b[6],b[7], b[8],b[9]], [` \+ `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `, ` `]] )" "6#/%\"BG-%'matrixG6#7%7+%%~~~~GF*F*F*F*F*F*F*F*7+&%\"bG6#\"\"\"&F- 6#\"\"#&F-6#\"\"$&F-6#\"\"%&F-6#\"\"&&F-6#\"\"'&F-6#\"\"(&F-6#\"\")&F- 6#\"\"*7+F*F*F*F*F*F*F*F*F*" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "A=matrix([[ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [a[2,1], 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [a[3,1], a[3,2], 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [a[4,1], a[4,2], a[4,3], 0, 0, 0, 0, 0, 0], [a[5,1], a[5,2], a[5,3], a[5,4], 0, 0, 0, 0, 0], [a[6,1], a[6,2], a[6,3], a[6,4], a[6,5], 0, 0, 0, 0], [a[7,1], a[7,2], a[7,3], a[7,4], a[7,5], a[7,6], 0, 0, 0], [a[8,1], a[8,2], a[8,3], a[8,4], a[8,5], a[ 8,6], a[8,7], 0, 0], [a[9,1], a[9,2], a[9,3], a[9,4], a[9,5], a[9,6], \+ a[9,7], a[9,8], 0]])" "6#/%\"AG-%'matrixG6#7+7+\"\"!F*F*F*F*F*F*F*F*7+ &%\"aG6$\"\"#\"\"\"F*F*F*F*F*F*F*F*7+&F-6$\"\"$F0&F-6$F4F/F*F*F*F*F*F* F*7+&F-6$\"\"%F0&F-6$F:F/&F-6$F:F4F*F*F*F*F*F*7+&F-6$\"\"&F0&F-6$FBF/& F-6$FBF4&F-6$FBF:F*F*F*F*F*7+&F-6$\"\"'F0&F-6$FLF/&F-6$FLF4&F-6$FLF:&F -6$FLFBF*F*F*F*7+&F-6$\"\"(F0&F-6$FXF/&F-6$FXF4&F-6$FXF:&F-6$FXFB&F-6$ FXFLF*F*F*7+&F-6$\"\")F0&F-6$F`oF/&F-6$F`oF4&F-6$F`oF:&F-6$F`oFB&F-6$F `oFL&F-6$F`oFXF*F*7+&F-6$\"\"*F0&F-6$F`pF/&F-6$F`pF4&F-6$F`pF:&F-6$F`p FB&F-6$F`pFL&F-6$F`pFX&F-6$F`pF`oF*" }{TEXT -1 9 " , " } {XPPEDIT 18 0 "C=matrix([[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, c[2], 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, c[3], 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, c[4], 0, 0, \+ 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, c[5], 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, c[6], 0, 0, \+ 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, c[7], 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, c[8], 0], [0 , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, c[9]]])" "6#/%\"CG-%'matrixG6#7+7+\"\"!F*F*F*F* F*F*F*F*7+F*&%\"cG6#\"\"#F*F*F*F*F*F*F*7+F*F*&F-6#\"\"$F*F*F*F*F*F*7+F *F*F*&F-6#\"\"%F*F*F*F*F*7+F*F*F*F*&F-6#\"\"&F*F*F*F*7+F*F*F*F*F*&F-6# \"\"'F*F*F*7+F*F*F*F*F*F*&F-6#\"\"(F*F*7+F*F*F*F*F*F*F*&F-6#\"\")F*7+F *F*F*F*F*F*F*F*&F-6#\"\"*" }{TEXT -1 5 " , " }{XPPEDIT 18 0 "id=matr ix([[1*` `], [1*` `], [1*` `], [1*` `], [1*` `], [1*` `], [1*` \+ `], [1*` `], [1*` `]])" "6#/%#idG-%'matrixG6#7+7#*&\"\"\"F+%#~~GF+7# *&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+ 7#*&F+F+F,F+7#*&F+F+F,F+" }{TEXT -1 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Then, if H denotes the \"row-sum-d iagonal\" operator, we have:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "H(A*C) = matrix([[0, 0, 0, \+ 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, a[3,2]*c[2], 0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, a[4,3]*c[3]+a[4,2]*c[2], 0, 0, 0, 0, 0], [0 , 0, 0, 0, a[5,2]*c[2]+a[5,3]*c[3]+a[5,4]*c[4], 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, Sum(a[6,j]*c[j],j = 2 .. 5), 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, Sum(a [7,j]*c[j],j = 2 .. 6), 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Sum(a[8,j]*c[j],j = 2 .. 7), 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Sum(a[9,j]*c[j],j = 2 .. 8)]] );" "6#/-%\"HG6#*&%\"AG\"\"\"%\"CGF)-%'matrixG6#7+7+\"\"!F0F0F0F0F0F0F 0F07+F0F0F0F0F0F0F0F0F07+F0F0*&&%\"aG6$\"\"$\"\"#F)&%\"cG6#F8F)F0F0F0F 0F0F07+F0F0F0,&*&&F56$\"\"%F7F)&F:6#F7F)F)*&&F56$FAF8F)&F:6#F8F)F)F0F0 F0F0F07+F0F0F0F0,(*&&F56$\"\"&F8F)&F:6#F8F)F)*&&F56$FNF7F)&F:6#F7F)F)* &&F56$FNFAF)&F:6#FAF)F)F0F0F0F07+F0F0F0F0F0-%$SumG6$*&&F56$\"\"'%\"jGF )&F:6#F]oF)/F]o;F8FNF0F0F07+F0F0F0F0F0F0-Fgn6$*&&F56$\"\"(F]oF)&F:6#F] oF)/F]o;F8F\\oF0F07+F0F0F0F0F0F0F0-Fgn6$*&&F56$\"\")F]oF)&F:6#F]oF)/F] o;F8FhoF07+F0F0F0F0F0F0F0F0-Fgn6$*&&F56$\"\"*F]oF)&F:6#F]oF)/F]o;F8Fcp " }{TEXT -1 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Cubing this matrix (using matrix multiplication) gives a \+ diagonal matrix whose entries are: " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 9 " \+ 0, 0, " }{XPPEDIT 18 0 "Sum(a[i,j]*c[j],j = 2 .. i-1)^3;" "6#*$-%$Su mG6$*&&%\"aG6$%\"iG%\"jG\"\"\"&%\"cG6#F,F-/F,;\"\"#,&F+F-F-!\"\"\"\"$ " }{TEXT -1 3 ", " }{XPPEDIT 18 0 "i=3" "6#/%\"iG\"\"$" }{TEXT -1 8 " . . 9. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "The sum " }{XPPEDIT 18 0 "Sum (b[i]*Sum(a[i,j]*c[j],j = 1 .. i-1)^3,i = 1 .. 9)" "6#-%$SumG6$*&&%\"b G6#%\"iG\"\"\"*$-F$6$*&&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F3F+/F3;F+,&F*F+F+!\" \"\"\"$F+/F*;F+\"\"*" }{TEXT -1 40 " can be obtained by premultiplyin g by " }{TEXT 282 1 "B" }{TEXT -1 30 " and post multiplying by id. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 190 "A := Matrix([seq([seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..9)],i=1..9) ]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..9)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMa trix]([0,seq(c[i],i=2..9)]):\nid := Matrix([seq([1],i=1..9)]):" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "RowSumDiag := proc(U)\n LinearAlgebra[DiagonalMatrix](ListTools [Flatten](convert((U.id),listlist)))\nend proc:\nH := RowSumDiag:" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "((B.(RowSumDiag(A.C))^3).id)[1,1];" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,0*(&%\"bG6#\"\"$\"\"\")&%\"aG6$F(\"\"#F(F))&%\"cG6#F.F(F)F)*&&F &6#\"\"%F)),&*&&F,6$F6F(F)&F1F'F)F)*&&F,6$F6F.F)F0F)F)F(F)F)*&&F&6#\" \"&F)),(*&&F,6$FCF.F)F0F)F)*&&F,6$FCF(F)F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "Sum(b[i]*Sum( a[i,j]*c[j],j=2..i-1)^3,i=2..9);\nvalue(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\")-F$6$*&&%\"aG6$F*%\"jGF+ &%\"cG6#F3F+/F3;\"\"#,&F*F+F+!\"\"\"\"$F+/F*;F9\"\"*" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,0*(&%\"bG6#\"\"$\"\"\")&%\"aG6$F(\"\"#F(F))&%\"cG6# F.F(F)F)*&&F&6#\"\"%F)),&*&&F,6$F6F(F)&F1F'F)F)*&&F,6$F6F.F)F0F)F)F(F) F)*&&F&6#\"\"&F)),(*&&F,6$FCF.F)F0F)F)*&&F,6$FCF(F)F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 7 "Example" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 109 "For a \+ numerical example, consider the Enright (Verner) scheme with Butcher w hose coefficents are given below." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 52 "coefficients of Enright's order 7 Runge-Kutta scheme" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 884 "ee := \{c[2]=1/18,c[3]=1/9,c[4]=1/6,c[5]=4/9,c[6]=19/39,c[7]=7/ 9,c[8]=8/9,c[9]=1,c[10]=1,\na[2,1]=1/18,a[3,1]=0,a[3,2]=1/9,a[4,1]=1/2 4,a[4,2]=0,a[4,3]=1/8,\na[5,1]=44/81,a[5,2]=0,a[5,3]=-56/27,a[5,4]=160 /81,\na[6,1]=91561/685464,a[6,2]=0,a[6,3]=-12008/28561,a[6,4]=55100/85 683,a[6,5]=29925/228488,\na[7,1]=-1873585/1317384,a[7,2]=0,a[7,3]=1568 0/2889,a[7,4]=-4003076/1083375,\na[7,5]=-43813/21400,a[7,6]=5751746/22 87125,\na[8,1]=50383360/12679821,a[8,2]=0,a[8,3]=-39440/2889,a[8,4]=12 58442432/131088375,\na[8,5]=222872/29425,a[8,6]=-9203268152/1283077125 ,a[8,7]=24440/43197,\na[9,1]=-22942833/6327608,a[9,2]=0,a[9,3]=71784/5 947,a[9,4]=-572980/77311,\na[9,5]=-444645/47576,a[9,6]=846789710/90281 407,a[9,7]=-240750/707693,a[9,8]=3972375/14534468,\nb[1]=28781/595840, b[2]=0,b[3]=0,b[4]=820752/3128125,b[5]=11259/280000,\nb[6]=188245551/6 25100000,b[7]=8667/43120,b[8]=286011/2737280,b[9]=5947/140000\}:" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 "subs(ee,matrix([seq([c[i],seq(a[i,j],j=1..i-1),``$(10 -i)],i=2..9),\n[``,seq(b[j],j=1..9)]]));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7+7,#\"\"\"\"#=F(%!GF+F+F+F+F+F+F+7,#F)\"\"*\"\"!F-F +F+F+F+F+F+F+7,#F)\"\"'#F)\"#CF/#F)\"\")F+F+F+F+F+F+7,#\"\"%F.#\"#W\"# \")F/#!#c\"#F#\"$g\"F\"#R#\"&h:*\"'kaoF/#!&3?\"\"&h& G#\"&+^&\"&$o&)#\"&D*H\"')[G#F+F+F+F+7,#\"\"(F.#!(&et=\"(%Q<8F/#\"&!o: \"%*)G#!(wI+%\"(vL3\"#!&8Q%\"&+9##\"(YVF+F+7,F)#!)LG%H#\"(3wK'F/#\"&%yr\"%Zf#!'!)Hd\"&6t(#!'XY W\"&wv%#\"*5(*yY)\")29G!*#!']2C\"'$p2(#\"(vB(R\")oW`9F+7,F+#\"&\"yG\"' SefF/F/#\"'_2#)\"(D\"GJ#\"&f7\"\"'++G#\"*^bC)=\"*++5D'#\"%n')\"&?J%#\" '6gG\"(!GPF#Fgp\"'++9Q)pprint326\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 190 "A := Matrix([seq([seq(a[i, j],j=1..i-1),seq(0,j=i..9)],i=1..9)]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..9) ]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMatrix]([0,seq(c[i],i=2..9)]):\nid := Matrix([seq([1],i=1..9)]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "RowSumDiag := proc(U)\n L inearAlgebra[DiagonalMatrix](ListTools[Flatten](convert((U.id),listlis t)))\nend proc:\nH := RowSumDiag:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "Ae := subs(ee,A): Be := subs (ee,B): Ce := subs(ee,C):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "((Be.(RowSumDiag(Ae.Ce))^3).id)[1,1 ];" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"#c" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Alternatively, we can sub stitute directly into the sum after it has been expanded." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "Sum(b [i]*Sum(a[i,j]*c[j],j=2..i-1)^3,i=2..9);\neval(subs(Sum=add,%));\nsubs (ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\" \"\")-F$6$*&&%\"aG6$F*%\"jGF+&%\"cG6#F3F+/F3;\"\"#,&F*F+F+!\"\"\"\"$F+ /F*;F9\"\"*" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,0*(&%\"bG6#\"\"$\"\"\" )&%\"aG6$F(\"\"#F(F))&%\"cG6#F.F(F)F)*&&F&6#\"\"%F)),&*&&F,6$F6F.F)F0F )F)*&&F,6$F6F(F)&F1F'F)F)F(F)F)*&&F&6#\"\"&F)),(*&&F,6$FCF.F)F0F)F)*&& F,6$FCF(F)F?F)F)*&&F,6$FCF6F)&F1F5F)F)F(F)F)*&&F&6#\"\"'F)),**&&F,6$FS F.F)F0F)F)*&&F,6$FSF(F)F?F)F)*&&F,6$FSF6F)FOF)F)*&&F,6$FSFCF)&F1FBF)F) F(F)F)*&&F&6#\"\"(F)),,*&&F,6$F`oF.F)F0F)F)*&&F,6$F`oF(F)F?F)F)*&&F,6$ F`oF6F)FOF)F)*&&F,6$F`oFCF)F\\oF)F)*&&F,6$F`oFSF)&F1FRF)F)F(F)F)*&&F&6 #\"\")F)),.*&&F,6$FfpF.F)F0F)F)*&&F,6$FfpF(F)F?F)F)*&&F,6$FfpF6F)FOF)F )*&&F,6$FfpFCF)F\\oF)F)*&&F,6$FfpFSF)FbpF)F)*&&F,6$FfpF`oF)&F1F_oF)F)F (F)F)*&&F&6#\"\"*F)),0*&&F,6$F_rF.F)F0F)F)*&&F,6$F_rF(F)F?F)F)*&&F,6$F _rF6F)FOF)F)*&&F,6$F_rFCF)F\\oF)F)*&&F,6$F_rFSF)FbpF)F)*&&F,6$F_rF`oF) F[rF)F)*&&F,6$F_rFfpF)&F1FepF)F)F(F)F)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##\"\"\"\"#c" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 " ;" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#-------------------------------------------------------------- -----------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 92 "A proc edure for checking whether an order condition or principal error condi tion is simple: " }{TEXT 0 9 "is_simple" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 16 "is_simple: usage" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 285 18 "Callin g Sequence:\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 " is_simple( ord )" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Paramet ers:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 23 13 " ord - " }{TEXT -1 103 " an order condition, principal error condition or principal error term given in abreviated form. " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 " Such co nditions and terms are produced using the procedures:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 " " }{TEXT 0 15 "Orde rConditions" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 0 21 "SimpleOrderConditions" } {TEXT -1 3 " , " }{TEXT 0 24 "PrincipalErrorConditions" }{TEXT 286 0 " " }{TEXT -1 2 ", " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 " \+ and " }{TEXT 0 19 "PrincipalErrorTerms" }{TEXT -1 75 " wh en used with a single positive integer argument for the (maximum) orde r." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 23 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 " " {TEXT -1 12 "Description:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The procedure " }{TEXT 0 9 "is_simple" }{TEXT -1 154 " returns true if an order condition or principal error term is simple, that is, if the associated tree has no more than one branchin g point at each level." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 16 "How to activate: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "To make the procedures active, open \+ the subsections, place the cursor anywhere after the prompt [ > and p ress [Enter].\nYou can then close up the subsections." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 26 "is_simple: implementation " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1143 "is_simple := proc(ord) local LS,RS,fact,L,v;\n if type(ord,`=` (algebraic,rational)) then\n fact := 1;\n LS := op(1,ord);\n RS := op(2,ord);\n elif type(ord,`&+`(algebraic,rational)) the n\n fact := 1;\n LS := op(1,ord);\n RS := -op(2,ord);\n elif type(ord,`&*`(rational,specfunc(`&+`(algebraic,rational),``))) then\n fact := op(1,ord);\n LS := op([2,1,1],ord);\n R S := -op([2,1,2],ord);\n else\n error \"the 1st argument is inv alid, it must be an order condition, or an error term, in abreviated f orm\"\n end if;\n\n ## allow for order conditions that involve `b* `\n if has(LS,`b*`) then LS := subs(`b*`=b,%) end if;\n\n ## check if we have a genuine order condition (probably not foolproof!)\n L \+ := eval(subs(``=(u_->u_),LS));\n if not (type(L,`*`) and indets(L) m inus \{a,b,c,e\}=\{\} and coeffs(L)=1 and type(1/RS,posint)) then\n \+ error \"the 1st argument is invalid, it must be an order condition, or an error term, in abreviated Form\"\n end if;\n\n v := ListToo ls[Flatten](eval(subs(``=(u_->[u_]),subs(\{b=1,a=1,c=1,e=1\},[LS])))); \n if v=[1] then return true else return false end if;\nend proc:" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Examples are given in the following sections." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#----------------------- --------------------------------------------------------------" }} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 60 "A procedure for evaluating order \+ conditions using matrices: " }{TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 26 "convert/Mat rix_form: usage" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 283 18 "Calling Sequence:\n" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 " convert( ord, Matrix_form, " }{TEXT 35 1 "A" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 35 1 "B" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 35 1 "C" }{TEXT -1 2 " )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 11 "Parameters:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 23 13 " ord - " }{TEXT -1 121 " an order condition associated with Runge-Kutta schemes as given in abreviated form as pr oduced by the procedures: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 " \+ " }{TEXT 0 15 "OrderConditions" }{TEXT -1 5 " \+ and " }{TEXT 0 21 "SimpleOrderConditions" }{TEXT -1 42 " with argument a single positive integer " }{TEXT 23 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 23 12 " A - " }{TEXT -1 67 " \+ the lower triangular square matrix of linking coefficients " } {XPPEDIT 18 0 "a[i,j]" "6#&%\"aG6$%\"iG%\"jG" }{TEXT -1 27 " of the R unge-Kutta scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 10 " B - " }{TEXT -1 57 " a mat rix with a single row containing the weights " }{XPPEDIT 18 0 "b[j]" "6#&%\"bG6#%\"jG" }{TEXT -1 27 " of the Runge-Kutta scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 10 " C - " }{TEXT -1 46 " a diagonal matrix containing th e nodes " }{XPPEDIT 18 0 "c[i];" "6#&%\"cG6#%\"iG" }{TEXT -1 27 " of the Runge-Kutta scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 12 "Description:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The proce dure " }{TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" }{TEXT -1 96 " constructs an \+ expression involving Matrices and, in the case of \"non-simple\" order conditions, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 104 "also an operator H whic h sums the rows of a Matrix, placing the results along the diagonal of a Matrix. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "The resulting expression t hen evaluates to the order condition using " }{TEXT 0 5 "value" } {TEXT -1 3 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 284 7 "Option:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 4 "The " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 16 "How to activate:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 158 "To make the procedures active, open the \+ subsections, place the cursor anywhere after the prompt [ > and press [Enter].\nYou can then close up the subsections." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "convert/Matrix_fo rm: implementation " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4999 "`convert/Matrix_form` := proc(ord,A::Matr ix,B::Matrix,C::Matrix)\n local fact,flag,LS,RS,L,is_simple,G,H,nA,m A,nB,mB,nC,mC,dim,id,i,j;\n\n if type(ord,`=`(algebraic,rational)) t hen\n flag := 0;\n LS := op(1,ord);\n RS := op(2,ord); \n elif type(ord,`&+`(algebraic,rational)) then\n flag := 1;\n \+ LS := op(1,ord);\n RS := -op(2,ord);\n elif type(ord,`&*`( rational,specfunc(`&+`(algebraic,rational),``))) then\n flag := 2 ;\n fact := op(1,ord);\n LS := op([2,1,1],ord);\n RS := -op([2,1,2],ord);\n else\n error \"the 1st argument is invalid , it must be an order condition, or an error term, in abreviated form \"\n end if;\n\n ## allow for order conditions that involve `b*`\n if has(LS,`b*`) then LS := subs(`b*`=b,%) end if;\n\n ## check if we have a genuine order condition (probably not foolproof!)\n L := \+ eval(subs(``=(u_->u_),LS));\n if not (type(L,`*`) and indets(L) minu s \{a,b,c,e\}=\{\} and coeffs(L)=1 and type(1/RS,posint)) then\n \+ error \"the 1st argument is invalid, it must be an order condition, or an error term, in abreviated form\"\n end if;\n\n nA,mA := Linear Algebra[Dimension](A);\n if nA<>mA then\n error \"the 2nd argum ent must be a square matrix\"\n end if;\n dim := nA;\n nB,mB := \+ LinearAlgebra[Dimension](B);\n if nB<>1 or mB<>dim then\n error \"the 3rd argument must be a row vector with row dimension %1\",dim; \n end if;\n nC,mC := LinearAlgebra[Dimension](C);\n if nC<>mC o r nC<>dim then\n error \"the 4th argument must be a diagonal matr ix with dimension %1\",dim;\n end if;\n for i to dim do\n for j to dim do\n if i<>j and C[i,j]<>0 then\n error \+ \"the 4th argument must be a diagonal matrix with dimension %1\",dim; \n end if;\n end do;\n end do;\n id := Matrix([seq([1 ],i=1..dim)]);\n\n is_simple := proc(tt) local v;\n v := ListTo ols[Flatten](eval(subs(``=(u_->[u_]),subs(\{b=1,a=1,c=1,e=1\},[tt])))) ;\n if v=[1] then return true else return false end if;\n end p roc:\n\n ## We need to replace ordinary multiplication with matrix m ultiplication\n ## The \"hidden\" functions are replaced by the foll owing procedure G \n if is_simple(LS) then\n G := proc(ff) lo cal la,E,n,nn,i;\n if patmatch(ff,b*E::algebraic,'la') then b. subs(la,E)\n elif ff=a*c then a.c\n elif patmatch(ff,a *c^n::posint,'la') then subs(la,a.c^n)\n elif patmatch(ff,a*c^ n::posint*E::algebraic,'la') then subs(la,a.c^n.E)\n elif patm atch(ff,c^n::posint*E::algebraic,'la') then subs(la,c^n.E) \n \+ elif patmatch(ff,a*E::algebraic,'la') then subs(la,a.E) \n \+ else ff;\n end if;\n end proc:\n else ## non-simple order condition\n\n ## procedure to form a diagonal matrix from \+ row sums of a square matrix \n H := proc(U)\n Linear Algebra[DiagonalMatrix](ListTools[Flatten](convert((U.id),listlist))) \n end proc;\n\n G := proc(ff) local la,E,n,gg,hh,nn,i;\n \+ if patmatch(ff,b*E::algebraic,'la') then\n gg := b.'H '(subs(la,E))\n elif ff=a*c then\n gg := 'H'(a.c)\n elif patmatch(ff,a*c^n::posint,'la') then\n gg := \+ subs(la,'H'(a.c^n))\n elif patmatch(ff,a*c^n::posint*E::algebr aic,'la') then\n hh,nn := op(subs(la,[E,n]));\n \+ if type(hh,`*`) then\n gg := op(1,hh);\n f or i from 2 to nops(hh) do\n gg := gg.op(i,hh);\n \+ end do;\n gg := 'H'(a.c^nn.gg);\n \+ else \n gg := 'H'(a.c^nn.hh)\n end if;\n \+ elif patmatch(ff,c^n::posint*E::algebraic,'la') then\n \+ hh,nn := op(subs(la,[E,n]));\n if type(hh,`*`) then\n \+ gg := op(1,hh);\n for i from 2 to nops(hh) do\n gg := gg.op(i,hh);\n end do;\n \+ gg := 'H'(c^nn.gg);\n else \n gg := 'H '(c^nn.hh)\n end if; \n elif patmatch(ff,a*E:: algebraic,'la') then\n hh := subs(la,E);\n if ty pe(hh,`*`) then\n gg := op(1,hh);\n for i \+ from 2 to nops(hh) do\n gg := gg.op(i,hh);\n \+ end do;\n gg := 'H'(a.gg);\n else \n \+ gg := 'H'(a.hh)\n end if;\n elif type(f f,`*`) then\n gg := op(1,ff);\n for i from 2 to \+ nops(ff) do\n gg := gg.op(i,ff);\n end do;\n \+ gg := 'H'(gg);\n elif patmatch(ff,(E::algebraic)^n: :posint,'la') then \n gg := subs(la,'H'(E)^n); \n else\n gg := 'H'(ff)\n end if;\n gg ;\n end proc:\n end if;\n\n if flag=0 then\n subs(\{a=A, b=B,c=C\},(op(1,LS).eval(subs(\{b=1,``=G\},``(LS))).id))[1,1]=RS;\n \+ elif flag=1 then\n subs(\{a=A,b=B,c=C\},(op(1,LS).eval(subs(\{b=1 ,``=G\},``(LS))).id))[1,1]-RS;\n else ## flag=2\n fact*(subs(\{ a=A,b=B,c=C\},(op(1,LS).eval(subs(\{b=1,``=G\},``(LS))).id))[1,1]-RS); \n end if; \nend proc:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Examples are given in the following s ections." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#----------------------------------------------------------------- --------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Examples \+ involving order 6 order conditions " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 115 "A simple order condition is one that co rresponds to a tree that has no more than one branching point at each \+ level." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 120 "For an order condition given i n abreviated form we can check whether it is a simple order condition \+ using the procedure " }{TEXT 0 9 "is_simple" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "RK 6 := OrderConditions(6):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 99 "The order 6 order conditions can be separated into lists of simple and non-simple order conditions." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "SO6,NS6 := selectremove(is_simple,RK6):" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nops(SO6);\nnops(NS6);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#K" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"&" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "The locations of the simple and non-s imple order conditions can be recorded." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 147 "indS := []: indN := []:\nfor ct to nops(RK6) do\n \+ if is_simple(RK6[ct]) then indS := [op(indS),ct]\n else indN := [op( indN),ct]\n end if;\nend do:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 31 "order 6 simple order conditions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "The 32 simple order condi tions are given (in abreviated form) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "They are numbered according to their location in the list of all order conditions. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "zip((u_,v_)->[u_,v_],indS,SO6):\nlinalg[augment](linalg[delcols]( %,2..2),matrix([[` `]$(linalg[rowdim](%))]),linalg[delcols](%,1..1)); " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7B7%\"\"\"%#~~G/*&%\"b GF(%\"eGF(F(7%\"\"#F)/*&F,F(%\"cGF(#F(F/7%\"\"$F)/*&F,F(-%!G6#*&%\"aGF (F2F(F(#F(\"\"'7%\"\"%F)/*&F,F()F2F/F(#F(F57%\"\"&F)/*&F,F(-F96#*&FF)/*(F,F(F2F(F8F(#F(\"\")7%\"\"(F)/*&F,F(-F96#*&FCF(F F)/*&F,F(-F96#*&F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{SECT 1 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 35 "order 6 non-simple order conditions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "The 21 non-simple or der conditions are given (in abreviated form) as follows." }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 83 "They are numbered according to their location in t he list of all order conditions. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "zip((u_,v_)->[u_,v_],indN,NS6):\nlinalg[augment](lin alg[delcols](%,2..2),matrix([[` `]$(linalg[rowdim](%))]),linalg[delco ls](%,1..1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7'7%\"#8% #~~G/*&%\"bG\"\"\")-%!G6#*&%\"aGF-%\"cGF-\"\"#F-#F-\"#?7%\"#AF)/*(F,F- -F06#*&F3F-F/F-F-F/F-#F-\"#s7%\"#CF)/*&F,F--F06#*&F3F-F.F-F-#F-\"$?\"7 %\"#HF)/*(F,F-F/F--F06#*&)F4F5F-F3F-F-#F-\"#O7%\"#KF)/*(F,F-F4F-F.F-#F -FBQ(pprint16\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "RK6_7 := OrderConditions(6,7):\nnop s(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#P" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The procedure " }{TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" }{TEXT -1 128 " converts an order condition g iven in abreviated form into an expression involving matrices which ev aluates the order condition." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "It is nec essary to set up appropriate matrices in order to use this procedure. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 157 "A := Matrix([seq([seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..7)],i=1..7) ]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..7)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMa trix]([0,seq(c[i],i=2..7)]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 76 "coefficients for the Tsitouras-Papakostas 7 stage order 6 Runge-Kutta scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 599 "ee := \{c[2]=4/27,c[3]=2/9,c[4]=3/7,c[5] =11/16,c[6]=10/13,c[7]=1,\na[2,1]=4/27,a[3,1]=1/18,a[3,2]=1/6,a[4,1]=6 6/343,a[4,2]=-729/1372,a[4,3]=1053/1372,\na[5,1]=13339/49152,a[5,2]=-4 617/16384,a[5,3]=5427/53248,\na[5,4]=95207/159744,a[6,1]=-6935/57122,a [6,2]=23085/48334,\na[6,3]=33363360/273642941,a[6,4]=972160/118442467, a[6,5]=172687360/610434253,\na[7,1]=611/1891,a[7,2]=-4617/7564,a[7,3]= 6041007/13176488,\na[7,4]=12708836/22100117,a[7,5]=-35840000/62461621, a[7,6]=6597591/7972456,\nb[1]=131/1800,b[2]=0,b[3]=1121931/3902080,b[4 ]=319333/1682928,\nb[5]=262144/2477325,b[6]=4084223/15177600,b[7]=1891 /25200\}:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Example 1 .. a simple order condition" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "RK6_7[26];\nsubs(Sum=add ,%):\nvalue(subs(c[1]=0,%));\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F%6$*(&%\"aG6$F+%\"jGF, &%\"cG6#F3F,-F%6$*&&F16$F3%\"kGF,)&F56#F<\"\"#F,/F<;F,,&F3F,F,!\"\"F,/ F3;F,,&F+F,F,FDF,/F+;F,\"\"(#F,\"#!*" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#/,**,&%\"bG6#\"\"%\"\"\"&%\"aG6$F)\"\"$F*&%\"cG6#F.F*&F,6$F.\"\"#F*) &F06#F4F4F*F**&&F'6#\"\"&F*,&**&F,6$F;F.F*F/F*F2F*F5F*F**(&F,6$F;F)F*& F0F(F*,&*&&F,6$F)F4F*F5F*F**&F+F*)F/F4F*F*F*F*F*F**&&F'6#\"\"'F*,(**&F ,6$FMF.F*F/F*F2F*F5F*F**(&F,6$FMF)F*FCF*FDF*F**(&F,6$FMF;F*&F0F:F*,(*& &F,6$F;F4F*F5F*F**&F>F*FIF*F**&FAF*)FCF4F*F*F*F*F*F**&&F'6#\"\"(F*,*** &F,6$F]oF.F*F/F*F2F*F5F*F**(&F,6$F]oF)F*FCF*FDF*F**(&F,6$F]oF;F*FXF*FY F*F**(&F,6$F]oFMF*&F0FLF*,**&&F,6$FMF4F*F5F*F**&FPF*FIF*F**&FSF*FinF*F **&FVF*)FXF4F*F*F*F*F*F*#F*\"#!*" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/# \"\"\"\"#!*F$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "RK6[26];\nconvert(%,'Matrix_form',A,B,C);\nvalue (%);\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*&%\"bG\"\"\"-%! G6#*(%\"aGF&%\"cGF&-F(6#*&)F,\"\"#F&F+F&F&F&#F&\"#!*" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/&-%\".G6'-%'RTABLEG6%\")s#R;%-%'MATRIXG6#7#7)&%\"bG 6#\"\"\"&F26#\"\"#&F26#\"\"$&F26#\"\"%&F26#\"\"&&F26#\"\"'&F26#\"\"(%' MatrixG-F)6%\")CV.U-F-6#7)7)\"\"!FOFOFOFOFOFO7)&%\"aG6$F7F4FOFOFOFOFOF O7)&FR6$F:F4&FR6$F:F7FOFOFOFOFO7)&FR6$F=F4&FR6$F=F7&FR6$F=F:FOFOFOFO7) &FR6$F@F4&FR6$F@F7&FR6$F@F:&FR6$F@F=FOFOFO7)&FR6$FCF4&FR6$FCF7&FR6$FCF :&FR6$FCF=&FR6$FCF@FOFO7)&FR6$FFF4&FR6$FFF7&FR6$FFF:&FR6$FFF=&FR6$FFF@ &FR6$FFFCFOFG-F)6%\")3FUU-F-6#7)FN7)FO&%\"cGF6FOFOFOFOFO7)FOFO&FcqF9FO FOFOFO7)FOFOFO&FcqFF ,&F.6$F@F+F,F,F,&FDF*F,&F.6$F+FHF,FIF,F,**,&*&F8F,&F.6$F:F4F,F,*&F>F,& F.6$F@F4F,F,F,&FDF3F,&F.6$F4FHF,FIF,F,*,F>F,&F.6$F@F:F,&FDF9F,&F.6$F:F HF,FIF,F,**FMF,FWF,F-F,)FCFHF,F,**FenF,F\\oF,F5F,FfoF,F,*,F>F,F`oF,Fbo F,F;F,FfoF,F,**FenF,F\\oF,FOF,)FWFHF,F,*,F>F,F`oF,FboF,FRF,FjoF,F,*,F> F,F`oF,FboF,FgnF,)F\\oFHF,F,#F,\"#!*" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#/#\"\"\"\"#!*F$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 4 "Note" }{TEXT -1 33 ": The symbol `.`() represents 1." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "`.`();" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"\"\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 41 "Example 2 .. a non-simple order condition" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "RK6_7[2 2];\nsubs(Sum=add,%):\nvalue(subs(c[1]=0,%));\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%$SumG6$*(&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F%6$*&&%\"aG 6$F+%\"jGF,&%\"cG6#F3F,/F3;F,,&F+F,F,!\"\"F,-F%6$*&F0F,-F%6$*&&F16$F3% \"kGF,&F56#FCF,/FC;F,,&F3F,F,F:F,F7F,/F+;F,\"\"(#F,\"#s" }}{PARA 12 " " 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,**,&%\"bG6#\"\"%\"\"\",&*&&%\"aG6$F)\"\"#F*&% \"cG6#F0F*F**&&F.6$F)\"\"$F*&F26#F7F*F*F*F5F*&F.6$F7F0F*F1F*F**(&F'6# \"\"&F*,(*&&F.6$F?F0F*F1F*F**&&F.6$F?F7F*F8F*F**&&F.6$F?F)F*&F2F(F*F*F *,&*(FEF*F:F*F1F*F**&FHF*F+F*F*F*F**(&F'6#\"\"'F*,**&&F.6$FQF0F*F1F*F* *&&F.6$FQF7F*F8F*F**&&F.6$FQF)F*FJF*F**&&F.6$FQF?F*&F2F>F*F*F*,(*(FWF* F:F*F1F*F**&FZF*F+F*F**&FgnF*F@F*F*F*F**(&F'6#\"\"(F*,,*&&F.6$FaoF0F*F 1F*F**&&F.6$FaoF7F*F8F*F**&&F.6$FaoF)F*FJF*F**&&F.6$FaoF?F*FinF*F**&&F .6$FaoFQF*&F2FPF*F*F*,**(FgoF*F:F*F1F*F**&FjoF*F+F*F**&F]pF*F@F*F**&F` pF*FRF*F*F*F*#F*\"#s" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\"\"\"#sF$ " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "RK6[22];\nconvert(%,'Matrix_form',A,B,C);\nvalue(%); \nsubs(ee,%);\n" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*(%\"bG\"\"\"-%!G6 #*&%\"aGF&-F(6#*&F+F&%\"cGF&F&F&F,F&#F&\"#s" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/&-%\".G6%-%'RTABLEG6%\")%)>MV-%'MATRIXG6#7#7)&%\"bG6# \"\"\"&F26#\"\"#&F26#\"\"$&F26#\"\"%&F26#\"\"&&F26#\"\"'&F26#\"\"(%'Ma trixG-%\"HG6#-F&6$-FI6#-F&6$-F)6%\")wDmV-F-6#7)7)\"\"!FXFXFXFXFXFX7)&% \"aG6$F7F4FXFXFXFXFXFX7)&Fen6$F:F4&Fen6$F:F7FXFXFXFXFX7)&Fen6$F=F4&Fen 6$F=F7&Fen6$F=F:FXFXFXFX7)&Fen6$F@F4&Fen6$F@F7&Fen6$F@F:&Fen6$F@F=FXFX FX7)&Fen6$FCF4&Fen6$FCF7&Fen6$FCF:&Fen6$FCF=&Fen6$FCF@FXFX7)&Fen6$FFF4 &Fen6$FFF7&Fen6$FFF:&Fen6$FFF=&Fen6$FFF@&Fen6$FFFCFXFG-FI6#-F&6$FQ-F)6 %\")%)G[W-F-6#7)FW7)FX&%\"cGF6FXFXFXFXFX7)FXFX&F`rF9FXFXFXFX7)FXFXFX&F `rFF*F*F* ,(*(FWF*F:F*F1F*F**&FZF*F+F*F**&FgnF*F@F*F*F*F**(&F'6#\"\"(F*,,*&&F.6$ FaoF0F*F1F*F**&&F.6$FaoF7F*F8F*F**&&F.6$FaoF)F*FJF*F**&&F.6$FaoF?F*Fin F*F**&&F.6$FaoFQF*&F2FPF*F*F*,**(FgoF*F:F*F1F*F**&FjoF*F+F*F**&F]pF*F@ F*F**&F`pF*FRF*F*F*F*#F*\"#s" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\" \"\"#sF$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "#====================== ========================" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "errterms6 := PrincipalErrorTerms(6) ;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 119 "Th e order 6 principal error terms can be separated into lists of simple \+ and non-simple error terms using the procedure " }{TEXT 0 9 "is_simple " }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "simp_errterms6,nonsimp_errterms6 := selectremo ve(is_simple,errterms6):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "nops(simp_errterms6);\nnops(nonsimp _errterms6);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#K" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "The locations of the simple and non-simple principal error terms can be recorded." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 165 "ind_S := []: ind_N := []:\nfor ct to nops(errterms6) do\n if \+ is_simple(errterms6[ct]) then ind_S := [op(ind_S),ct]\n else ind_N : = [op(ind_N),ct]\n end if;\nend do:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 36 "order 6 simple principal error terms" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "The 32 simple order \+ conditions are given (in abreviated form) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "They are numbered according to their location in the l ist of all order conditions. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 146 "zip((u_,v_)->[u_,v_],ind_S,simp_errterms6):\nlinalg[augment](li nalg[delcols](%,2..2),matrix([[` `]$(linalg[rowdim](%))]),linalg[delc ols](%,1..1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7B7%\"\" \"%#~~G,&*&%\"bGF(-%!G6#*&%\"aGF(-F.6#*&F1F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&F1F(-F.6 #*&F1F(%\"cGF(F(F(F(F(F(F(#F(\"%S]!\"\"7%\"\"#F),&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F. 6#*&F1F(-F.6#*(F1F(F>F(F;F(F(F(F(F(#F(\"%!o\"FA7%\"\"$F),&*&F,F(-F.6#* &F1F(-F.6#*(F1F(F>F(F8F(F(F(F(#F(\"%g7FA7%\"\"%F),&*&F,F(-F.6#*(F1F(F> F(F5F(F(F(#F(\"%35FA7%\"\"&F),&*(F,F(F>F(F2F(F(#F(\"$S)FA7%\"\")F),$*& #F(FCF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&)F>FCF(F1F (F(F(F(F(F(#F(\"%?DFAF(F(7%\"#6F),&*&F,F(-F.6#*(F1F(F>F(FLF(F(F(#F(\"$ O$FA7%\"#7F),&*(F,F(F>F(FIF(F(#F(\"$!GFA7%\"#8F),&*(F,F(F>F(FXF(F(#F( \"$5#FA7%\"#;F),$*&FjoF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F.6#*(F1F(F>F(FhpF(F( F(F(#F(\"$I'FAF(F(7%\"#F(FepF(F( F(#F(\"$/&FAF(F(7%\"#=F),$*&FjoF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F.6#*(F1F(F[ qF(F;F(F(F(F(#F(\"$?%FAF(F(7%\"#>F),$*&FjoF(-F.6#,&*(F,F(F>F(FbpF(F(#F (F_uFAF(F(7%\"#@F),$*&FjoF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*(F1F(F[qF(F8F(F(F(#F(\"$ _#FAF(F(7%\"#BF),$*&FjoF(-F.6#,&*(F,F(F[qF(F5F(F(#F(\"$o\"FAF(F(7%\"#D F),$*&#F(\"\"'F(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&)F>FRF(F1F(F (F(F(F(#F(FeoFAF(F(7%\"#HF),$*&#F(FhnF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*(F1F(F[qF(Fh pF(F(F(#F(\"$E\"FAF(F(7%\"#IF),$*&FjoF(-F.6#,&*(F,F(F>F(F^sF(F(#F(\"$0 \"FAF(F(7%\"#JF),$*&FixF(-F.6#,&*(F,F(F[qF(FepF(F(#F(\"#%)FAF(F(7%\"#K F),$*&FjoF(-F.6#,&*(F,F(F>F(F[uF(F(#F(\"#qFAF(F(7%\"#LF),$*&FjoF(-F.6# ,&*(F,F(F[qF(FLF(F(#F(\"#cFAF(F(7%\"#NF),$*&FdwF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*(F 1F(F>F(F`xF(F(F(#F(F_wFAF(F(7%\"#OF),$*&FdwF(-F.6#,&*(F,F(F>F(F]xF(F(# F(\"$S\"FAF(F(7%\"#PF),$*&FdwF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*(F1F(FcxF(F;F(F(F(#F (FfzFAF(F(7%\"#RF),$*&FdwF(-F.6#,&*(F,F(FcxF(F8F(F(#F(\"#UFAF(F(7%\"#S F),$*&#F(\"#CF(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&F1F(-F.6#*&)F>FhnF(F1F(F(F(F(#F(Fbr FAF(F(7%\"#VF),$*&#F(FhqF(-F.6#,&*(F,F(F[qF(F`xF(F(#F(\"#GFAF(F(7%\"#W F),$*&F]`lF(-F.6#,&*(F,F(FcxF(FhpF(F(#F(FjuFAF(F(7%\"#XF),$*&F[_lF(-F. 6#,&*(F,F(F>F(Fd_lF(F(#F(F\\\\lFAF(F(7%\"#YF),$*&F[_lF(-F.6#,&*(F,F(Fg _lF(F;F(F(#F(\"#9FAF(F(7%\"#ZF),$*&#F(\"$?\"F(-F.6#,&*&F,F(-F.6#*&)F>F aoF(F1F(F(F(#F(Ff^lFAF(F(7%\"#[F),$*&#F(\"$?(F(-F.6#,&*&F,F()F>FewF(F( #F(\"\"(FAF(F(Q(pprint26\"" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 40 "order 6 non-simple principal error terms" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "The 21 non-simple orde r conditions are given (in abreviated form) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "They are numbered according to their location in the list of all order conditions. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 149 "zip((u_,v_)->[u_,v_],ind_N,nonsimp_errterms6):\nlinalg[augmen t](linalg[delcols](%,2..2),matrix([[` `]$(linalg[rowdim](%))]),linalg [delcols](%,1..1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#727 %\"\"'%#~~G,&*&%\"bG\"\"\"-%!G6#*(%\"aGF--F/6#*&F2F--F/6#*&F2F-%\"cGF- F-F-F6F-F-F-#F-\"$/&!\"\"7%\"\"(F),&*(F,F--F/6#*&F2F-F3F-F-F6F-F-#F-\" $O$F<7%\"\"*F),$*&#F-\"\"#F--F/6#,&*&F,F--F/6#*&F2F--F/6#*&F2F-)F6FKF- F-F-F-#F-\"$S)F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "errterms6_7 := Pri ncipalErrorTerms(6,7):\nnops(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\" #[" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Example 3 . . a simple principal error term" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "errterms6_7[8];\nsubs(Sum=ad d,%):\nvalue(subs(c[1]=0,%));\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&#\"\"\"\"\"#F&-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iGF&-F)6$*&&%\" aG6$F/%\"jGF&-F)6$*&&F46$F6%\"kGF&-F)6$*&&F46$F<%\"lGF&-F)6$*&&F46$FB% \"mGF&)&%\"cG6#FHF'F&/FH;F&,&FBF&F&!\"\"F&/FB;F&,&F6#F9F*F%F%F%F%F%F%F%F%F%F%F%" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6##!\"\"\"&?S$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "errterms6[8];\nconvert(%,'Ma trix_form',A,B,C);\nvalue(%);\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*&#\"\"\"\"\"#F&-%!G6#,&*&%\"bGF&-F)6#*&%\"aGF&-F)6#* &F1F&-F)6#*&F1F&-F)6#*&)%\"cGF'F&F1F&F&F&F&F&F&#F&\"%?D!\"\"F&F&" }} {PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&#\"\"\"\"\"#F&&-%\".G6&-%'RTABLEG6 %\")K=mW-%'MATRIXG6#7#7)&%\"bG6#F&&F66#F'&F66#\"\"$&F66#\"\"%&F66#\"\" &&F66#\"\"'&F66#\"\"(%'MatrixG-F-6%\")+2aU-F16#7)7)\"\"!FQFQFQFQFQFQ7) &%\"aG6$F'F&FQFQFQFQFQFQ7)&FT6$FFQF QFQ7)FQFQFQFQ&F]rFAFQFQ7)FQFQFQFQFQ&F]rFDFQ7)FQFQFQFQFQFQ&F]rFGFIF'F&- F-6%\")o>lV-F16#7)7#-F*6\"F^sF^sF^sF^sF^sF^sFI6$F&F&F&F&#F&\"%S]!\"\" " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,**&#\"\"\"\"\"#F&*,,&*&&%\"bG6#\" \"'F&&%\"aG6$F.\"\"&F&F&*&&F,6#\"\"(F&&F06$F6F2F&F&F&&F06$F2\"\"%F&&F0 6$F;\"\"$F&&F06$F>F'F&)&%\"cG6#F'F'F&F&F&*&F%F&*(F4F&&F06$F6F.F&,&**&F 06$F.F;F&FF&F?F&FAF&F&*(F9F&&F06$F;F'F &FAF&F&F&F&F&F&F&*&F%F&*.F4F&FGF&F/F&F9F&FF'F&F&F&#F&\"%S]! \"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6##!\"\"\"&?S$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Example 4 .. a non-simple princip al error term" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "errterms6_7[41];\nsubs(Sum=add,%):\nvalue(subs(c [1]=0,%));\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&#\"\"\" \"\")F&-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iGF&)-F)6$*&&%\"aG6$F/%\"jGF&)&%\"cG6#F7 \"\"#F&/F7;F&,&F/F&F&!\"\"F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "errterms6[41];\nconvert(%,'M atrix_form',A,B,C);\nvalue(%);\nsubs(ee,%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*&#\"\"\"\"\")F&-%!G6#,&*&%\"bGF&)-F)6#*&)%\"cG\"\"#F &%\"aGF&F4F&F&#F&\"#j!\"\"F&F&" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*& #\"\"\"\"\")F&&-%\".G6%-%'RTABLEG6%\")K=mW-%'MATRIXG6#7#7)&%\"bG6#F&&F 66#\"\"#&F66#\"\"$&F66#\"\"%&F66#\"\"&&F66#\"\"'&F66#\"\"(%'MatrixG*$) -%\"HG6#-FN6#-F*6$-F-6%\")+2aU-F16#7)7)\"\"!FenFenFenFenFenFen7)&%\"aG 6$F:F&FenFenFenFenFenFen7)&Fhn6$F=F&&Fhn6$F=F:FenFenFenFenFen7)&Fhn6$F @F&&Fhn6$F@F:&Fhn6$F@F=FenFenFenFen7)&Fhn6$FCF&&Fhn6$FCF:&Fhn6$FCF=&Fh n6$FCF@FenFenFen7)&Fhn6$FFF&&Fhn6$FFF:&Fhn6$FFF=&Fhn6$FFF@&Fhn6$FFFCFe nFen7)&Fhn6$FIF&&Fhn6$FIF:&Fhn6$FIF=&Fhn6$FIF@&Fhn6$FIFC&Fhn6$FIFFFenF J*$)-F-6%\");O[V-F16#7)FZ7)Fen&%\"cGF9FenFenFenFenFen7)FenFen&FarF " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "#============================== ================" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#---------------------------------------- ---------------------------------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Examples involving order 7 order conditions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "RK 7 := OrderConditions(7):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 119 "The order 7 order conditions can be separated int o lists of simple and non-simple order conditions using the procedure \+ " }{TEXT 0 9 "is_simple" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "SO7,NS7 := selectremove(is_simple,RK7):" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "nops( SO7);\nnops(NS7);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#k" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"#@" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "The locations of the simple and non-simple orde r conditions can be recorded." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 147 "indS := []: indN := []:\nfor ct to nops(RK7) do\n if is_simpl e(RK7[ct]) then indS := [op(indS),ct]\n else indN := [op(indN),ct]\n end if;\nend do:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 31 "order 7 simple order conditions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "The 64 simple order conditions are given \+ (in abreviated form) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "They \+ are numbered according to their location in the list of all order cond itions. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "zip((u_,v_)->[u _,v_],indS,SO7):\nlinalg[augment](linalg[delcols](%,2..2),matrix([[` \+ `]$(linalg[rowdim](%))]),linalg[delcols](%,1..1));" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#7\\o7%\"\"\"%#~~G/*&%\"bGF(%\"eGF(F(7%\" \"#F)/*&F,F(%\"cGF(#F(F/7%\"\"$F)/*&F,F(-%!G6#*&%\"aGF(F2F(F(#F(\"\"'7 %\"\"%F)/*&F,F()F2F/F(#F(F57%\"\"&F)/*&F,F(-F96#*&FF)/*(F,F(F2F(F8F(#F(\"\")7%\"\"(F)/*&F,F(-F96#*&FCF(FF)/* &F,F(-F96#*&FF(#F(FTQ(pprint26\" " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 35 "order 7 no n-simple order conditions" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 77 "The 21 non-simple order conditions are given (in a breviated form) as follows." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "They are n umbered according to their location in the list of all order condition s. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 134 "zip((u_,v_)->[u_,v_] ,indN,NS7):\nlinalg[augment](linalg[delcols](%,2..2),matrix([[` `]$(l inalg[rowdim](%))]),linalg[delcols](%,1..1));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#K%'matrixG6#777%\"#8%#~~G/*&%\"bG\"\"\")-%!G6#*&%\"aGF- %\"cGF-\"\"#F-#F-\"#?7%\"#AF)/*(F,F--F06#*&F3F-F/F-F-F/F-#F-\"#s7%\"#C F)/*&F,F--F06#*&F3F-F.F-F-#F-\"$?\"7%\"#HF)/*(F,F-F/F--F06#*&)F4F5F-F3 F-F-#F-\"#O7%\"#KF)/*(F,F-F4F-F.F-#F-FB7%\"#VF)/*&F,F--F06#*(F3F-F " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 52 "coefficients of Enright' s order 7 Runge-Kutta scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 884 "ee := \{c[2]=1/18,c[3]=1/9, c[4]=1/6,c[5]=4/9,c[6]=19/39,c[7]=7/9,c[8]=8/9,c[9]=1,c[10]=1,\na[2,1] =1/18,a[3,1]=0,a[3,2]=1/9,a[4,1]=1/24,a[4,2]=0,a[4,3]=1/8,\na[5,1]=44/ 81,a[5,2]=0,a[5,3]=-56/27,a[5,4]=160/81,\na[6,1]=91561/685464,a[6,2]=0 ,a[6,3]=-12008/28561,a[6,4]=55100/85683,a[6,5]=29925/228488,\na[7,1]=- 1873585/1317384,a[7,2]=0,a[7,3]=15680/2889,a[7,4]=-4003076/1083375,\na [7,5]=-43813/21400,a[7,6]=5751746/2287125,\na[8,1]=50383360/12679821,a [8,2]=0,a[8,3]=-39440/2889,a[8,4]=1258442432/131088375,\na[8,5]=222872 /29425,a[8,6]=-9203268152/1283077125,a[8,7]=24440/43197,\na[9,1]=-2294 2833/6327608,a[9,2]=0,a[9,3]=71784/5947,a[9,4]=-572980/77311,\na[9,5]= -444645/47576,a[9,6]=846789710/90281407,a[9,7]=-240750/707693,a[9,8]=3 972375/14534468,\nb[1]=28781/595840,b[2]=0,b[3]=0,b[4]=820752/3128125, b[5]=11259/280000,\nb[6]=188245551/625100000,b[7]=8667/43120,b[8]=2860 11/2737280,b[9]=5947/140000\}:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "RK7_9 := OrderCond itions(7,9):\nRK7 := OrderConditions(7):\nnops(%);" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#\"#&)" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The procedure " }{TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" } {TEXT -1 128 " converts an order condition given in abreviated form in to an expression involving matrices which evaluates the order conditio n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "It is necessary to set up appropria te matrices in order to use this procedure." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 157 "A := Matrix([seq( [seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..9)],i=1..9)]):\nB := Matrix([[seq(b[i ],i=1..9)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMatrix]([0,seq(c[i],i=2..9)] ):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "A_ := subs(ee,A): B_ := subs(ee,B): C_ := subs(ee,C) :" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#-- --------------------------------------------------------------" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "The following example involves a simple o rder condition." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "RK7_9[58];\nsubs(Sum=add,%):\nsubs(`union`(\{c [1]=0\},ee),%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%$SumG6$*&&%\"bG6 #%\"iG\"\"\"-F%6$*(&%\"aG6$F+%\"jGF,)&%\"cG6#F3\"\"#F,-F%6$*&&F16$F3% \"kGF,-F%6$*&&F16$F>%\"lGF,&F66#FDF,/FD;F,,&F>F,F,!\"\"F,/F>;F,,&F3F,F ,FJF,/F3;F,,&F+F,F,FJF,/F+;F,\"\"*#F,\"$_#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\"\"\"$_#F$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "RK7[58];\nconvert(%,'Matrix_ form',A_,B_,C_):\nvalue(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*&%\"b G\"\"\"-%!G6#*(%\"aGF&)%\"cG\"\"#F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&F-F&F&F&F&#F& \"$_#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\"\"\"$_#F$" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#----------------- -----------------------------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "The following example involves a non-simple order conditi on." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "RK7_9[59];\nsubs(Sum=add,%):\nsubs(`union`(\{c[1]=0\} ,ee),%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%$SumG6$*(&%\"bG6#%\"iG \"\"\"-F%6$*&&%\"aG6$F+%\"jGF,&%\"cG6#F3F,/F3;F,,&F+F,F,!\"\"F,-F%6$*& F0F,-F%6$*&&F16$F3%\"kGF,)&F56#FC\"\"#F,/FC;F,,&F3F,F,F:F,F7F,/F+;F,\" \"*#F,\"$o\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\"\"\"$o\"F$" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "RK7[59];\nconvert(%,'Matrix_form',A_,B_,C_):\nvalue(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*(%\"bG\"\"\"-%!G6#*&%\"aGF&%\"cGF&F&-F(6#* &F+F&-F(6#*&)F,\"\"#F&F+F&F&F&#F&\"$o\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/#\"\"\"\"$o\"F$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 " #--------------------------------------------------------------------- ----------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Examples invo lving order 12 order conditions " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 58 "coefficients of Terry Feagin's order 12 Runge-Kutta sch eme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 176311 "ee := \{c[2]=.2,\nc[3]=.5555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 555555555555556,\nc[4]=.8333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\nc[5 ]=.3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333,\nc[6]=1.,\nc[7]=.67183570 9170513812712245661002797570438953420568682550710222198169188396885464 1411339740947148409385159985702561796172136049749791930583578215285191 8936334857002275734560980015176986361507355713326830637006529199769729 4527007077768565723608360272970387513775627939285562501910550736121447 9324209387963564983956266634794580118761554187556216165902278471926203 0297161388735853403231969651294438702001129571959991014211455595940755 6417561458488146681685965201836351541276834313240455517286450340028975 3478720875493255046607242432347913389193578998872211116844153448768144 5339812094846236206271220939941212523059248613097686780060471042642698 7013520454240555485512791829848805350629423182520674619834149235010004 5457663062308827712945982011360264722377748832047440130185083992955525 21390488611880694301351720201085,\nc[8]=.28872494111062020193545848896 7024976908118598341806976469673683524498659021786154156840175781438948 9407205656249297322627048782379511768600342203436798931977777893730019 3641026980295516472536718715746904146672411191133752328493038933428526 8516811678796329626229044442193945279773747196227595238508002704003120 4827223675821871945183811112690184233296564445139077067862199000289391 8010593314302602455299284359645630925568701692848709476255387951301972 8234985249838846842640197830372798926425255568187779825950446660383202 8362478561376378472612582481809273327491173889140276782986180128934654 0023398858022577620212735488925709102081094899035439202631625584550009 3926881634622481286718244434202407604670225608802009175385982126030208 9612713428400336126505797916373912246427233872210193392916802847922635 60345821539,\nc[9]=.5625,\nc[10]=.833333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333,\nc[11]=.94769543117919928756238016210183672164958932589274064645 8322040125137959095755861951932569244155290438223154209312174224854824 1749756019542426413704882303588579511371048502315892896396557213357326 0861243361082284313178265088357025654646869534681368393609569365439413 7478028972255318493585476724227792016997040443810135066349638244979118 1630229307343708726878164810167052799863812710275934166568836660898092 4368600048646805615029657309151250619747494315995876505766981990522413 1864869976502492926937187057591572683968583014748434473686750133313981 5502578282014998368512320853433567718914830909340766194238688233231372 1820843435848028250940307789380769076170635554462495803760248773520490 4460163775617505695708236075577529301095618429808064891861037152984060 190096628380190208481368323256084623546336903708452148,\nc[12]=.548112 8768638026438877536748107544758421536129311287850283685092941115229776 9529733113720127644251462214321898631909695784767875536791672015787806 8851292418442059418002348237164426718592306514999396650872883223109623 3269389434596843845264120288617156655572406630222496160532844980692274 1224292390009902957167683710176191751214085522780611105533352020448798 5510504290454758429802544552900922698395468925174077224853049008722532 2054426699439937056247287259262162583403870213483769390710742728031729 1655519425365791736187454186656588328991494942080872627054809563269551 4211867263780967150003965167950215926211888623746062538289972410610591 9615568834681532130646199571720794330498104157016099882173705777749686 1968599605168043010448432694813458149289452296434781885243121684944898 9425046140502670333303146406492132e-1,\nc[13]=.84888051860716535063983 8930162674302064148175640019542045933939835577399136547623689251493769 6012313689937893691246389604136850958378888425601343128430221855205172 4602002544962059699678673343255361235564497223122420506848903339370046 1447746896976291393376786091218783497233745573864198024732677413821694 9121075138608990837622685342045314346089693582178449314607873869457273 7501257254689888056450697636420054907686149064861248813129471919508681 2312232582589721393020978546190157799465791916391803242804327507568478 7117820286856812286770558595662698856473919454007682646940778144133481 1154268906641282163903736316928847083630852533567060367508285584761192 1229698905546572281718926986970529966833999980429353789408830804610920 4487173849216031505413516388057591375392435517963529294834073175244447 27533807914403108e-1,\nc[14]=.2655756032646428930981140590456168352972 0126416407762144866527031852223494143614560163883212120521233594489127 6906434463800973774172086778813269294187011888836583759413006118764958 0734614344316797067090974382504444571198849613140516718965592390967514 0321996860257088660276686466407265811592577582542589776137731342350795 2857475007092070674866638106709137717509972064776560176174841163824356 3895650540663057496640134946206852062250577730569784894696856080689023 4107837026686710334013037196151882255772904358461025624985851778534036 1176223810269152852523473101255788861370660747876019954452741096099980 0727603247639108172447713284916169124261489087393191473278593110332845 7038526136216230864697395562343733928974687521693216459582852890663830 2287945958840154656106579946144665299888104065407840083783238739163999 ,\nc[15]=.5,\nc[16]=.7344243967353571069018859409543831647027987358359 2237855133472968147776505856385439836116787879478766405510872309356553 6199026225827913221186730705812988111163416240586993881235041926538565 5683202932909025617495555428801150386859483281034407609032485967800313 9742911339723313533592734188407422417457410223862268657649204714252499 2907929325133361893290862282490027935223439823825158836175643610434945 9336942503359865053793147937749422269430215105303143919310976589216297 3313289665986962803848117744227095641538974375014148221465963882377618 9730847147476526898744211138629339252123980045547258903900019927239675 2360891827552286715083830875738510912606808526721406889667154296147386 3783769135302604437656266071025312478306783540417147109336169771205404 1159845343893420053855334700111895934592159916216761260836001,\nc[17]= .915111948139283464936016106983732569793585182435998045795406606016442 2600863452376310748506230398768631006210630875361039586314904162111157 4398656871569778144794827539799745503794030032132665674463876443550277 6877579493151096660629953855225310302370860662321390878121650276625442 6135801975267322586178305087892486139100916237731465795468565391030641 7821550685392126130542726249874274531011194354930236357994509231385093 5138751186870528080491318768776741741027860697902145380984220053420808 3608196757195672492431521288217971314318771322944140433730114352608054 5992317353059221855866518884573109335871783609626368307115291636914746 6432939632491714415238807877030109445342771828107301302947003316600001 9570646210591169195389079551282615078396849458648361194240862460756448 20364707051659268247555527246619208559689,\nc[18]=.9476954311791992875 6238016210183672164958932589274064645832204012513795909575586195193256 9244155290438223154209312174224854824174975601954242641370488230358857 9511371048502315892896396557213357326086124336108228431317826508835702 5654646869534681368393609569365439413747802897225531849358547672422779 2016997040443810135066349638244979118163022930734370872687816481016705 2799863812710275934166568836660898092436860004864680561502965730915125 0619747494315995876505766981990522413186486997650249292693718705759157 2683968583014748434473686750133313981550257828201499836851232085343356 7718914830909340766194238688233231372182084343584802825094030778938076 9076170635554462495803760248773520490446016377561750569570823607557752 9301095618429808064891861037152984060190096628380190208481368323256084 623546336903708452148,\nc[19]=.833333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3,\nc[20]=.28872494111062020193545848896702497690811859834180697646967 3683524498659021786154156840175781438948940720565624929732262704878237 9511768600342203436798931977777893730019364102698029551647253671871574 6904146672411191133752328493038933428526851681167879632962622904444219 3945279773747196227595238508002704003120482722367582187194518381111269 0184233296564445139077067862199000289391801059331430260245529928435964 5630925568701692848709476255387951301972823498524983884684264019783037 2798926425255568187779825950446660383202836247856137637847261258248180 9273327491173889140276782986180128934654002339885802257762021273548892 5709102081094899035439202631625584550009392688163462248128671824443420 2407604670225608802009175385982126030208961271342840033612650579791637 391224642723387221019339291680284792263560345821539,\nc[21]=.671835709 1705138127122456610027975704389534205686825507102221981691883968854641 4113397409471484093851599857025617961721360497497919305835782152851918 9363348570022757345609800151769863615073557133268306370065291997697294 5270070777685657236083602729703875137756279392855625019105507361214479 3242093879635649839562666347945801187615541875562161659022784719262030 2971613887358534032319696512944387020011295719599910142114555959407556 4175614584881466816859652018363515412768343132404555172864503400289753 4787208754932550466072424323479133891935789988722111168441534487681445 3398120948462362062712209399412125230592486130976867800604710426426987 0135204542405554855127918298488053506294231825206746198341492350100045 4576630623088277129459820113602647223777488320474401301850839929555252 1390488611880694301351720201085,\nc[22]=.33333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333,\nc[23]=.5555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556,\nc[24]= .2,\nc[25]=1.,\nc[26]=1.,\n\na[2,1]=.2,\na[3,1]=-.21604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604 9382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716 0493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827 1604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938 2716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049 3827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 82716049382716049383,\na[3,2]=.771604938271604938271604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604 9382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716 0493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827 1604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938 2716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049 3827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8,\na[4,1]=.2083333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333,\na[4,2]=0.,\na[4 ,3]=.625,\na[5,1]=.193333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\na[5,2]=0 .,\na[5,3]=.22,\na[5,4]=-.8e-1,\na[6,1]=.1,\na[6,2]=0.,\na[6,3]=0.,\na [6,4]=.4,\na[6,5]=.5,\na[7,1]=.103364471650010477570395435690481791543 3427083303498792441969232007020836692076572830573704778237270034693936 9785093531423228765160880051423762688091296779234641111284972268240430 1600623563751791576916329949673620891587291338657981160690190965625239 3181705295822727931677710616340149915759504533954755923353396718810041 2112542088697664043931530737312894721828755453203784031211256281021966 0804788299224387975074927243050069590848979508008214280943652646848873 1675818794671695311388081736325971101277890933512900541258785682303707 0473883438438886678461084748821699053573853196616516736170205479207686 9867556811530672395018950481861784372299061184178797222319136675050082 7061263810888676053184485019368617292492755634992751659162303620162627 6197371152484643214994476835097085672577262377163231280057324851022925 1,\na[7,2]=0.,\na[7,3]=0.,\na[7,4]=.1240530945289467610615818892371153 2821107478495518029804407427723151890642228693683493659153832707049672 2375357741947020271033342658191409583677823464617177207557782524421425 3931613821714942486181986146940360987733407407138091833037983536730437 0665728516694698775096424369310731010232802484796645956968975786261261 1175584383632119209367400887071974372358258536147888571916392802561304 8357271621223036902838278063160142543536263580393569755360059920382577 7735012218940524509302424079178511668904876179932022408769757355007219 6806491040099682440871244113738039552805802105500414688900063091251663 7286857221760734238019756161999019898930708213696117809081306847272015 2064995507855953044474068430972912761450919912342946941544908557189356 2798489422388511164816525634701570180955549802784834535651773962661285 445478,\na[7,5]=.48317116756103289928883648045196250872410925751728917 7302380034181822890419029683815121996596648724923819223498627105049266 6214803430709227758473422681569484955973978949618665600961543850330012 8717666867221310599575708611648202170680431848038936349295064599181276 3486791376094239954808921541538688454552113973283997754031083654482031 2812397950124187174704280482756187937816863384885973912101843881447503 8996867682043731167883826507812737599268117479931119424760577897157107 9345498021806732852670318972145361825911106699917321732752189419641901 2555726244384648995722977804751910948873651066774720910026038230640979 1473036105899421624462040539521061404578017791454825608767911415241448 9502411132095146904404380363402480261280578569930973084246745271162998 507032597865692783582420205284039731471202126369893179694,\na[7,6]=-.3 8753024569476325208568144376762058039573330234136803880429036444855483 6250601367991418638979585839080124222980403701701649674954170044887756 2352745637856947954353592349617420578927356501744456368389332613358639 2292119594622785223197638736038422419166469692754847958640338352633336 0070744075376047034777087799418264542785808313327985334583808015383715 8328456900642551617985722129301593365376427873636934217164792158006014 2647915679430901254821428804250618634544008979449028660422104479031798 8002332126868496543373014678335056751566294343508311063802373395773244 9182117110945100049242783727171849714606832535656625812412840877335749 5636538812486119510577696265632996971534968463610619327739270492062145 6328242166291427210128090775883510094716691334241265509641643171055360 991432593021572875550823609279686533377e-1,\na[8,1]=.12403826143183332 4081904585980175168140024670698633612292479844044827992494747089816653 1913742988017031527790023532844584193588341134496948733611370803781278 9745454806550854090204029794849369338070984379405070664800243367164555 3598172962090409374287484485993189707200972176780579016669442564508976 7002348601180466512046392889578583981671207868258556036940599330772726 4353888378737313715913679174790494359633345891332838467292934688777708 2520214026268073851836101197332165547863125967018955536137689817319586 2848760815463690553109836367544786925662981771059027059433745055594795 0102350318053469923648064131223522625392056237461138765839805275416608 8305430365499367579034723660024983568995825893458118522582566040517192 2119387974296056324803982299434997474975274510577227403015999664024614 50903143117874534013882,\na[8,2]=0.,\na[8,3]=0.,\na[8,4]=0.,\na[8,5]=. 2170506321979584863178462569531599428759163537577341676846566744497954 8725794567436653654612167183301811383865040836600402365482467454413987 9718613057939448142662884356667403689776421925080221549639103764995703 1930655328933458179367878949735848873004526283763463082201366848661347 6266838313607723133506935852804791918979393277480706316632282396413009 4884796415749051495740489226445069807275281570811195248304856492665227 5562122656415162041989316630206678052334896935808711243049417326982185 4227449781805756400458154386189509192327169311519316868695481600980674 2614881673780225910888258040765798809431146751156372256450286805304174 6582790343623668606164265625491397625030738960481632322930812254836983 9551453570640364482526176638979790685974541353335736473262206982176891 7719513810092103048158234857943858497655,\na[8,6]=.1374557920759667598 1290780183504819059444399093940853084291775354501880518493101549979504 9999087932318257218243164696269119345555656118907070746383312444838876 2475029487186776466183790766242249068816267802299329886784294507750490 8173807609204993907902592632207262300813618788879948859753977052204906 4610179287417774327918189855079886873291310670013000562416459730625216 5739376752757590100016798399954589800396112934004464536222789236740347 9016435520029972493629715427451074730409022760594477132544424923908013 6278640310331997296731137149442870302005582437649309753331723319448178 7844763514042886097342656532380040235374933816619579050311497586215409 8835781836662631894120529968125321181087579832825162264295367622549944 1956975683203362142049581433053799806248426624433872437646880088208966 037911771104241406873e-1,\na[8,7]=-.6610953172676828444558313414981495 3167266825208501656591754610324626701249399711576329066714440479012371 7738521483878266500699764024288654259340447896688621499528097151114020 8667560261651097023387964119560267902802447198678394605380037940468244 3817043377375514233279728535155819981001352082399904939061233454353625 4596428535236550689095037234336573421905840870926004410367378421656769 3426921527816269189904582022607796985757535332689813631864910508053664 4313381759497847549068103923551343299976544280475107856425106236461099 1077908057373548900352726240267252621446753239933516117773153910406929 1830498885251327155783534142706094715818984770036878676484720979124309 1797295604754553878035792291169971854752595105368000999270231178762604 2115085680075119124191369723172923218776574451640937153803768893684708 306851e-1,\na[9,1]=.91477489485688298314499184698043219708883209997666 0100090486407080194895342455852991818936312861669915907032399612240221 2385991439085962492454257941923622100639606059114320724195408569812886 1254811891566511462900722075404741411815258957575196623826865804816567 3901474239856916894180826209760656598110978481615636114159788961558028 9513401843919595079066462079566025152568554245135604821610857063450605 4225958109471812180313921472084775952104031535754633299684362175176888 2215353586386089822344771647023282017142447020218498012485971764856759 4448867349079332275903377983901299277562666978837274625178732156072512 9327309889939544744492596918267901727708835656763481800213840879157415 7261006337461283519026855316021748387634028208667619706855231378778292 078341717929654698178817927501695214299588217467947512512940e-1,\na[9, 2]=0.,\na[9,3]=0.,\na[9,4]=0.,\na[9,5]=0.,\na[9,6]=-.54434852371746968 9965754944144838611346156873847009178068317834072876815229457796606609 6532966834814428743481722797645276106210863149624418020938415088984461 0859713618961962354550615909311149115667654606974918793021631470970390 0277504017231127578898752387958507395387806075107800569423264464022318 6629250422691525460477150526886951880610335269441014524073603555421458 8161675074336022996855990579027075977640820327717056735085919363460432 0476385184772615951003178497717519124173690675992511817772320110929281 8775382865102735446694244171923826709168800315248270966337430647938516 7126024917154014904029277758756260346668412409687525695365147166610554 0611209867770499797157504420526120337579068830385114195563642289651521 7232774008805884376146430326304957801256890543363666187592710970765586 75337165794524784747381e-2,\na[9,7]=.680716801688453518578515120895103 8631127517307587943722039518677930013251388913149244681589526453399094 8109542689649422751438658919217646953408882516779061612217855438962743 3141191368738614996639399264072883659338938899737969745803659073388134 2727040517463299330420818027027200055651687144049114930451017522688853 4594448950194585415157328662079922413206535309082842164520574638789151 5512484386079369389070200775469303037968810917652028220168697114628057 5517030694681412493458674469797363979125389056148712411391988659483622 6453160726167302786148426793937176359327174901085107795655273456879083 9275178022587099740940089825490229311858599863739476741808927306273135 1940164747475830104173372302199683465347784955013654768990439876875457 0102146814343587085214377926096617506650812201674042641247443723146596 0207832e-1,\na[9,8]=.4083943155826410467273068526538947800933031856649 2464455123935085340914610415986117443738700641613383188993069907192420 0400807637553072352540069476479073701842472055331790245679381839018940 7539928149474868976630446861977685586526071501752583012246917165444300 2437959827380478738803109474022808341407102122703423937945004930417649 8641589263233993567810652917498812327768610050417288402532328589815459 7144647858950140292215627060280863672690838626046302871046553626629861 6203511963357017730309244666793729396699061079424841670774493634151894 5096072068515584749152605382690549837945430659246463571311097803956440 5226133479687524010768910796100748116535163837112869096783560866902895 4443554143392017866458579225527058512876392555437328934358847647810488 8664752707171481276341654987759127201515547106188003900575397,\na[10,1 ]=.8900136525025510189545093554238417801432326974034341186926989993223 9831962570580177452621364579405425963833760762540290243205721743564625 8655887986768024251856416206458490068543061317461351706170302640186211 1839529671402488862669004417001099329893278862305507069626527356619450 9956020298140862716880819824080031565905241954022736046232270390061789 5811155415826085146192479989149872142672336704225390049483155987494392 6956106076703877997449599893609991850950040087737084665750062840046660 0403957907838584001777083338837708563943697929089286776215518108480792 5846514836300309532358502033693629718102721822464019908058124812683238 3264863762629756375550248713569850274735927235301965278034953708853774 4918689794351626466366501132500415847463074676841796752754474255632077 3948953978379690975319295938802223685593577e-1,\na[10,2]=0.,\na[10,3]= 0.,\na[10,4]=0.,\na[10,5]=0.,\na[10,6]=.499528226645532360197793408420 6928004058911494068140919558100299611985086558381414010856019639761407 1489404371743243925050059316733375260105710881595712353061096590035864 9278735196178569892614176487563229467606729644679509346102235816776046 3375122545059537004966350880956039321573310175502243014525242826947761 1664583555223616788645432448011622334371622232510978753872755366856820 7333004438104317210533416624783389555312705683840824088876150383082047 5824147935796370490511375749087435852460217580556533436102210486161834 8118849714163526641536938925180762693231265293554933312461184569574162 6261468716543908552286372587697259071228102804407358270665788699725269 4264111582373728083000000883617361945358654988458435353545855261654113 2927445277229008065786272005351936920098368299541954994453264640708400 7150517225e-2,\na[10,7]=.397918238819828997341739603001347156083435060 9314249708263044040250700525391549655751883265838253494953914866662127 3031960032855252067769128891366162380116670303686663293458123497886515 9488813442188650167152554229186747276363482306824966651754861734795357 3801366939932475509851282301608463533262133390431080642098080889425323 5406106729227637890885694475602482205171107908315295617856209914830087 5505459027743254923009175466975390247469541711896119551448291476134354 4653792179582067830575465199347675070511420776496434039612927584092626 3391417400425292894844590026830290598021373703073336904325694882335399 3952778032561684479325488535526408373766886188591073152490248877499599 8253369908312777571952050669080654557257749766883423657936074302883366 11829586308371636817370614527622575129202399290229261605517384662,\na[ 10,8]=.427930210752576611068192608300897981558240730580396406312359467 8423525630853815189010325982897531053545404194189829854864606248381629 6043969180015330196462246439980393735817278893314023852693176482613849 3200477603490809898083321336674615013301816192866423963961801594999854 3309190066222099575558590309026760897665491176768489684530266393269417 9295151300010976802835370541997074875656794113079327105518161208643428 2658725622640549468746710113656511875236958294695714634139278968904851 6338878487415806739136657575218672732874521928686081386520789516435824 7308899438890067520653467812675086067170332553133903150419614054479297 7697199792609200308582281382125992066323015218204832210266335911610084 4907989924472982370704362164578689599267414260049279456891289157094003 75573730874549362933349456606444585938098136164,\na[10,9]=-.8651176375 5782700574027747595502910326724639412899596594158538765941099340332112 7343510689244642883497113469497992471554758317107672069495235403684288 0611632585461688639492033223676559651650863247659497793549296193738466 1095558022568586103180018649662130602840824871068594216545432780196620 6544704426751018484357562368835243735956713737851785924981427005660904 5312145769332597227108430422381227893841758897820245566939044440021182 9903781749722065013746250085833409507522332470155789260553899518503242 7489123811320023434587874466138828811838495319738046452634691018832333 7769956379281122316086136598070737761115450931150236460389992446794572 0162296397757864836676942233225825450005773759975214252361003366813169 5246977721692721469161557305623309667887132724224946853804168010663968 938154998193984652727222520228e-1,\na[11,1]=.6950876241349075431126939 0640980982270602106168554461525575784067209030838836180927877766045610 8901483568465913825604686524685671370710077426873497607495447877811387 9302017901498282689035978177935082531479510771991360742929531734146362 3070018175592399000912703235773074138545550719819156229492472829772201 3514262041742046530562023826181156842295520395296301236394596424418677 1911028792269332327599515871248614996934270329779918522608112189458674 1001617947688741010496398128239476201102438974625705476012238629486317 4225959780120011804700923001822764943001138131916077671792977247672143 7479894860424795830547486135540790750088437134653248041069603158905474 0797060392207667225544330880141538900233775582982470293339839249653139 1746982162965260454929928744554134601114890334720744527281471668175968 705189595667638e-1,\na[11,2]=0.,\na[11,3]=0.,\na[11,4]=0.,\na[11,5]=0. ,\na[11,6]=.1291469419001764619707595794827465511228717515014826340454 87,\na[11,7]=1.5307363810231129507634256614321493903117750411243387431 3010460119080930869897003884580655344672189519059484574852258910746677 5976162540221222161715591260344736389835905672355477449281057375876262 6532386081794653084369636018501936042117167151575689793436732185564587 1553059953465228206015960415460703434643745882569983014922982071280627 2129604805402358987822234139231559246891682992904455576935222827512257 3860989925532525514135612575909623103072056796649773118511356654046096 3312583529005961734454709002221563607047254675889747668773152335785399 1839913751328989919983361682502577518970656101104674598880000971624782 1190144626162296309244713591222123018447628487887658553758711090062050 2966592018915616031752688853236021547322111677073922333748465459338580 069924538738319985548008634190689760327419895732734386,\na[11,8]=.5778 7476112914005254675134945457671533489210041857188271803631541647496837 6037822321981056765770892772926932567553789839624308908862935646851958 9856986142549893322541432467965026032806579806434567212235258486005149 9654159517782205549854166585212949320580675971128552969452043319556207 4233237040742589255263793861279603924600410322797626129090584528350603 9231197642723409365880004974916520374641139865315316386572389389309258 4846556538770602370466474957071482082854048575236314210302552136069613 4345647642386666067628571617171694919448262690766708408197859549306402 7816601906951033748800542252743263669571128316257623856396542421443388 3640167728014019355756139338828302850610515461656241821137496511781319 6179759871057553200942820365245853283918630184014780962019841218390267 109946370771063398187382757154605994,\na[11,9]=-.951294772321088980532 3408373888594539309244987992286480509483788983284346648902823686686252 6330350627915246437205192200630092384618901409086411721350387988163767 5132233101569157687464353508731333174114805949317668933537198726435679 3856985690370547721655024645226996488337672372766866674283693065117342 0578211859398130820945797155735959631229208355477542783009229778226544 2517788704687637805846788529182992130545841944777918040817885517225398 4430169376915037167804859835680590101892751699568534938230245550572737 7991830258433079985494307233028929423927530568350968630632273848697125 7211927243022463069992963281128039356658588513776171901002796038117192 1137064296776032340915611717453032110306129099417102801191213426990241 8212993137685767607094229987246715252971967835945877141503966375112331 2712514045203899020,\na[11,10]=-.4082766429656319514974849815197574634 5962717452097842690993328165102691415319789777506418175064488139450300 6326094843184587805430997930830710049467058513904017876959503987530248 0582845964862344329425602092630330312817927767133270652417141866440056 0884688273279388623198746230386655879253522465708292715112344507539216 5002675677435647801899064605193602820857568764164571902843232624968799 0852189406139297001366743584036408008700975904510523239581195500021773 3958253084408181787265091676739994168383800206419208516053165537296794 9279730433677317606735072777107099991215234228665077631961674791371065 5243785871736607233376945948704888618829475731664592015816522540152128 9942003814847313947392541870249034052034958432498046484407756202753563 2184645440744823824354909033350974614768077453817919882799601284529165 453,\na[12,1]=.4448614032951358662694535070924635816201655010186841529 3331301135900644143253878543783842546533591763243498139352786371048309 9624973008749792704712644872721041655968171222162444604335885610635167 1559537800824182843829957552349552186990582848722302674295823174628084 7497640314715217326318471204327499254992106480110419366753619158489556 4226803704917020053129776276295685253748063495098705847375974986189081 0179236708297526240828247257551196820307873262058904245572875898885195 1276512600847938544835843505397414666886186461565591163308422715167969 2132025190186234478572413281837650379096903895991886055826590810245191 9482223969884375076365877176364693298331368154456922268881995203834084 2759243525745468316698811590921123847193804566683208172239890983131811 0936905103637128373060137972490846103878869145695006595e-1,\na[12,2]=0 .,\na[12,3]=0.,\na[12,4]=0.,\na[12,5]=0.,\na[12,6]=-.38047686705696173 1984232686574547203016331563626856065717964e-2,\na[12,7]=.106955064029 624200721262602809059154469206077644957399593972e-1,\na[12,8]=.2096162 4449990433329667420592891992080673465066003989807465225004893167899306 8480119466404028381111647188987921602228124348930922571649127083963369 5011863242137278448291155159838857441846394127952022902508088051292326 8182164500096441681766968411676411626456066232375870899708687593104321 3832254439803357027004783795781977186516092341266883287152344921169544 2411389606168553400572369918928171615665723903610942045305603146526957 9527074096438272383259143848199629810296729027731649870064875109239709 1550734185645299798471858345300369142642075517464506653671157201943548 0525302564292347153241150381770594731818739317990454914372897278689903 0971440872171298377546412446148364518240307291162987811542705860200907 0291399590260443051365648121989202193661342916957999681824982185489801 948662391430236124873726040472633e-1,\na[12,9]=-.233146023259321786648 5614315519780776653378187560536038988470415729516027406974149935555956 8329123122050400654081308154201341354724462589168305332865388162687833 4102861755521949551579812289060244245078443696088862409725121774593006 2826394508146028761328889382489870941948418100392843139375675618022185 8111264664654765190404582229643087879537350426426611161264839748724098 9885109293164692128755877870315369336101785403895162790444715748396522 8843828144780168818124378659945438534200071088700364471684325731354262 9662047553470496386100419137614606132819469067041357735300089817585696 5960131729751432347686689603993411330829103536470940165208340252904883 5624170946539157806115679491403124432440051047302045932305401608533257 4248122583784788931645602982482073273031537731792929501355367480637168 5496934180583036216e-1,\na[12,10]=.26326598106453697436993473632533476 1174975280887405725010964494947264394469946352919505124900836624753767 6171080564263406969494581143453715406012084397029792629319876486521969 4942935239469602609659624288720144045915409404272074904165061896562942 8242217693611961286483616744321572539254654596537138988819010726518162 1211540531070887494397144895687406669111287024356794548346774380197819 7025703085423481658358663246095496210352042587932283629349124943794479 3946184988805702508914293989704512975997545504469843287405843006710698 7646865970702177568988281787670653223784250638202769299042212761945792 3234505216596619278324876980068752645417569084708468540708861539690020 0331922242829273703099402898098307871865232194442746579171246067257766 5716861580641635812588579409718679728262876795461916647322184679334889 82104e-2,\na[12,11]=.3154727689770250601035458555721114079552083063744 5972395978239964398565845790811475437454975933054087646494501196444030 9593668092564501978102031945151447021387165090989008609905452830948759 2467162386099696794451250196507956602160338622801172417473603082993959 0748461763820428351995309485806534273622821835181246933226061429944765 5469098248890236484626858112712429534481557590473036487973612136463571 7944294253519096734039819198757398997282248626268176509128259688881526 6844509665852555461064174880451532244963504737712931500441273407530076 5940235329685007160776129042405713178653288757800644313962138079122118 2088807477657916196352871270338038271345324970789535091411631901155317 2323685821381980963907199268599403828849340471692124065295804740546757 1918857267867827286675985121241314454315426046476619051509105e-2,\na[1 3,1]=.1945888151197554755888010965253177612420737620162731862312147414 8066015841846789653020640146422471526313015244783900438707968251950454 7478763134956567310947842272214321166265929218149926709472693680102564 4288261129621006312651242801662173179738866465351531919499719216970582 7121663479192956415987170356055200916862001207889007410514593589685309 6371085590578893834631761090559288818763006744245606044839216188880191 2827207841981397245694704874867408640465187721996609941463928310571974 3693455275406381262888136387869480141945527765446034246218528879563946 3924867919476485079848390544586060990875986444633695910727917396381345 6947958550193130836732434440539422250727665296912840103378152560565127 0787734553144772690747611730596555502854193536327062887011993492459396 8826295065884092946209669888924317681728333511e-1,\na[13,2]=0.,\na[13, 3]=0.,\na[13,4]=0.,\na[13,5]=0.,\na[13,6]=0.,\na[13,7]=0.,\na[13,8]=0. ,\na[13,9]=.6785129491718125093061216534523674761943647812591653323215 3445317290411023838260688808385062602862042549574411594794644189153031 6391160326846320976259994156015434739437981466772858340287674648680708 5503834677566262615132288917384648967078632250957317336237994651037210 5482897277733819548256849041874749889179373694432195075662664319088709 2420143135750226430515881511565688737703827847040643073903683901134033 4923071139267312892420711450842268896072663086320076529165931329631290 8224445967291421263763797866275444552633336568773721864467951507626105 6930695400101576365351716897244108652824893900714686032713937611639891 9390635646682092871649757356308922256043865200180170012210351963050961 4021012663240686640157188606404259473597419015428876085838002994660668 0365912053461134621764099093333071122348981314101096e-4,\na[13,10]=-.4 2979585904927362327100533023016234356886338772488360367555021099544891 7053648355095933556476166827990871761610184908426654722993321927162457 5831426256284613631116572969650782225865886188202074146647603253589484 8711235229461582588131862721983123978893505680130036003725438739975664 6408020164792108666235644942487404633120406213522018081370773458299562 9425755847432770869551644020419268229252596361021598333044375380350204 5405346809800673857263382727688263599844205762617226313852556736599485 8261337469625920432043187489144522215229086689649675902202670523046335 3882411739745906787371969626993158407991285970387773256171477549876247 7010018861518401751311842290090154595683928776964412483122284711700916 6831714518647655745195585129905807618983444508213792163661530025880792 770870160057261260340216745093034590182e-4,\na[13,11]=.176358982260285 1554074859289533021399375534428299757341489807141089039042639321498044 2716682521968384625583338401093377044975821113531121151372991078190998 6407357642484098302779042963209782998371196874245061779017367652344684 5291719908318490159462632881621543030303318768474000548500476030606260 2906987745923873292874979376194962960095663936592567192841048266171733 9896922380470111557632068500477522979805595405589137640942667893351359 2904814825872193643315629208120452060313332622990219431854074514874756 6813048015257591615538416429701885260946151604282898373534204303091397 6878679060773983875108221236986323552216157499423946553808513935095442 9824424903036754263533250421919659989252561114430197445833929685371201 9652666651376147211420083732134311566516815093821457484215411571765023 5964433410468275915336814e-4,\na[13,12]=.65386662741502705100959523138 5181033549511358787382098351924233398630881620631060757448514844401434 6295827571053958606015483160107991368194210968885312949619971853509742 3406900004953214514532242029501241624023452408645104448930897853966151 6430679842652136864988779087784498185384153864260103053217778983219392 2552584185662480820663078217753948603766241386582293598996102611597699 8188641428653258618642026325387220984971128107008790282522696318983300 1327280621621228313387630595418449378866217807820240042797794147134489 1890930826680628583886629712696376250191953472580417893097393594749650 6201196639489720034921898454402267209801621833666108772660957204568998 8671735217205230791417604168389292486073715998914026332969888790417497 7506232069166559875537540046017755006247537765275231394157865186389000 54021874749e-1,\na[14,1]=.20683683566427710591682817479827236107890919 6043446411598231383604568815844465196031881071150849285137644854014179 3649831156552897725063750668142609980343059618296392907546442767920942 9677921525779056208718723790769386917446974113428769214275472465518372 1996851679238488680244537870295066307535925599088863905231739930752406 4957003842576608295077676054189836063914690765224428631645325904466030 1289204294585091052687324397362842578288964493923349499007678655596303 2439009024819550019528538405458005871077413797754416835544299666771541 0574389202498913199167025300261206711629988822120909795616134637872137 0010367409640602459355549423666530753392518342657542151767267093261044 3792977273574391937428130442625770692681277103384998602677606469459487 226302529514730006735830116579628459771819697423580120474543073184,\na [14,2]=0.,\na[14,3]=0.,\na[14,4]=0.,\na[14,5]=0.,\na[14,6]=0.,\na[14,7 ]=0.,\na[14,8]=0.,\na[14,9]=.16679606710415647282804586666469645030632 6505094792505215514010147380046881259148441978262657084433437323893495 5206283046104084994213377044781219004383110282959046756311902546163523 2842639440906745011537499373052936205300077924881937616078482175323693 5680426194195956297349726395136035803712827766667539626197469847591174 0337134953743243827670298210626080711060058118256130620436043405281818 5130896227432016998944481392551308185084502308012365149612381891601742 3600789925488712942554196059671099444056829120008201746714351347721825 1605323823591601248254189661268543184614642039865650030727713753999394 7601655094075462509046632800333816166898124421013383151299571982679830 3140900716336429403049349005163043873678992746018724405107290858629634 309747696954210113377342454510755520770018245960981156385161776308665e -1,\na[14,10]=-.879501563200710214457024178249986591130234990219959208 7049794487571848499522935439737702065537504317603247446458461540679811 8576776838317479413051671300202618225841313604754811428656736569773084 8532600668395697022460618216545047166237908729714639273246188776168107 7772484092667767038111409503169211163551283542751512115788783617926114 4472556084148830977315234495062905652588129378317972822641904863974453 3838154474297144210461118156160375669446488441346421561987032695087452 7723770156321821923035643785195037668925935745646199875799151683578023 2323610072170459791248125543717042535825184771879728812287505403567679 0272255448165460152142395974582225185144175066586357223124462216437365 0296731220362806085809865193668180345723068913849307944415761798373136 22239630853255715732934490699456568621554101749938925461e-2,\na[14,11] =.34667545536246391082446231524637920942751365409859640363723148656705 3932632566811038243369191451867478138513905867094846847736871114981170 0766409811644971724756281432646899796968227560857831929524348735359492 1248061758469021380671275474206588701384912550715043378969059059652917 1318069034298948916571693273050462177530319190919192549646701415405880 2473657183738876168577919315267002681090038305102820633641208262955642 4180296422543257520242821251359642304937855350013024822228784144750824 0499630485626263228377569406841913854411491708608745487573645679552482 8420652944056962891159475280647986546883803124164347022326237646458311 5946857963135294798243119598580933091399384676634635649485514319568667 9754982805252943514830488938429782260773719853552645335915630212214706 718396699167705940628359502013854805145287e-2,\na[14,12]=-.86126446010 5717678161432562258351242030270498966891201799224833348280270996382429 4591000473635663982326752609675432587860597130572161127954909985391839 6814510994906780951015857684833497961803518748883880381223490870257549 3199746930296556721629850749225451661246836311881604964859199840783197 8503318398712565901844131504670080539964780502668223944888635542144555 6291682804720507813114845973016650403027111040686082916215379347839843 8948621353227664739290266125262283933558337530159266298345853400961677 8738296920753376222915853276767776901266666894220987898283670052037911 5839731109509419593189036878739796688132394066276659766923152586907085 2391585120014787457610450432014552314603242386534358474055886253336672 3265825900711384323084279554463462628927539940729877796654065764685442 29714516942236580552686074080,\na[14,13]=.9086518820740502810962394784 6926214503495712993925678917878479866939699457842473151401525044183686 7730064771188118056028495325180640093448836816277684599673692179023067 3561832875537194144329560816209515478883392379480512388767073702779767 2627032377599258840663565154523253473972194245767351132113504537280999 5557241705362652536379649048822824276201941636215588253561467510971683 1181747570139938106796438499857886530894669778229815565655771125308295 7088889059173230511147202324750047740340241658229991767965125765022784 1156443884844778868855902823866724016022697640984513007134719340564599 6634368909837350518233294251879626368327715791356502154670624267430243 9224938453643695665161730617959438933014437319845017128548084901912883 2046668961532933234051288990053844075921473559950248790070790663245125 679655871830,\na[15,1]=.2039260846544840100915113146769256860385044495 6241300456238179184414878215454431959702625746490315503313249923112753 7728359166584565448576321562153657784567545020310920124529089159694165 5639758453359128734316372033618702601537874952974825644189174645109101 6052140905036826143638995056771801403190113246575475962963564788844370 6315277870543404498253540965279354120170136325320621409850324554044076 7927853580450372927961081096365104846551639003984125576779690444016858 0196114924237731206888638691847588430023148764459428050363483464534336 7451079811771590620504740239355791322913574547775454701442953752004003 5977330703724483293371610404774565897501907172913861996405210836358267 4814179749122707216168085145931584898298280803279735475153517289755830 9310353553571393179206113159265766965276844661424839569969559952e-1,\n a[15,2]=0.,\na[15,3]=0.,\na[15,4]=0.,\na[15,5]=0.,\na[15,6]=0.,\na[15, 7]=0.,\na[15,8]=0.,\na[15,9]=.8694693920166859486754005555839475058339 5446093094095957734665063107970563541303048818442357788958998914869518 8032109219498782956060122474911735734886026299274568903471659917002628 4462283569448529395685196604243026410035634883486268472515421510866273 9020008719171181798042728837173624329825525698683306787670238373620931 9165117264761907992875546931738941851780251139351783998152650626757630 5857095197960845769659313960459692939629131987226968303717755934322451 5468113942493170191900317553659725690830178907147205433408302361221217 0900959187917497176688805751687976268941025343842261930089321376853873 0152180798845759617646548824904063265230350219155265353918915540487916 9918399853493175664047486328969846816739886181148998455342706436676466 0972415343594661170099177894174949071930287532703187519370123234522495 e-1,\na[15,10]=-.19164963041014984228643661179140505328717007660233767 3587680725483921891883566914976984815710130363875856047730060935736333 5537010547133983659174063028917620091570946164671712103568880090468501 1844264253457998354440592093906053352208699675901487757111696336194676 7293413288793081104915019042174622622763053802451256963964620012514999 8291881263618122933390936308746270953736775647577352734311083586266117 8901567096118163536194710703493955494954666973744886512830443454186727 6237355294465877539517653935522558582846162918852716053698339971506527 0734246973991742044868885279644776431211641042949414991856562292423009 0280686738443902483594089747425850530241429856070246731242179373523157 3742801018896356996544217853106646920778423627635157082808085529627345 783083618930164910342361997971510910383261206105953577196e-1,\na[15,11 ]=.6556291594936632873648715732442445160348287552537460240988384514573 0729190620602896796238266421014725977264155219119423349706867916566727 8653064551015181341914895452337190294819045265340655888810177696393952 5723673432633848148799837497683076088091084692246091715234787370363090 5229434056187739437418636633805389743250508388425017136721556649851507 6874994700356388044690251289660669248090521173230393881483171878200518 3609504604700410970518194816781196549424943703191940592070962687579960 6800239653156113002691919025825198498030454931458887692810938584030503 2638984644050129218814262433095378801873787781168954068585523674088128 4981823490655968328794961307044825046432148590976256634785327441889326 7793182119903016877741374128413571684842600372481893136859780335415960 8281905072165044550862091909865037083886988e-2,\na[15,12]=.98747612812 7434780903798528674033899738924968006632201445460988203926763083649438 4605136078704009535718333443581374832793695912814780605290229101471773 8416806145981509064650650949616476346776576165373652502061309522707232 2454087541598419495752701213300365832306772947708939919966780451711053 0477615772743014017514870979705008056521256839780350740151091144469114 2504488809492570066720420957957514325519817028819612360584622133285093 5908357476637936543258921666220721173796054086642332546341281341079080 4050056749181698617966838755065501757458579980695059041712519857562964 7354919984907910037900632693390054478382153224593631783561847283000735 2206397162144795868763897540601495596190017900993251308850955390906971 5284323823728787401065436046484736699620556411448316034153191955509595 15048873681553146933609226884e-1,\na[15,13]=.5353646955249960550832601 7361556740871711024727402105611832902549621314502113156638071078211566 8132741795065028357207757653639233784944609199263643213594394887447002 9872330180419282970239194506555623275958540215575718789575764798788804 6251954308933841541062619976775391029989973918267516110876326527364981 6567419465523832692973039700039565237799555406009494065716768129270424 9741820826860750847576718934838693663560107198312387602061344564032483 9883834826890825939738169895288415061342878583999187579260994363215819 6410846351669124889526414760657536542288711601549509600194892448216815 8195787367662643267700348919608102108846379181259633112163445815254629 1910917499859551578668610717495421190818184880366253947651366887528351 5103444970904261036723586884995667999297235067072313111062827871950050 949454963148015e-2,\na[15,14]=.301167864010967916837091303817051676920 0592297849574799980774547109414597317226366896393210318948837281584738 2947089653099909420876560206293244765511588191534478738196015938873229 7522661520062971193942221748664955068446055872517387208082007397698242 1227023758389744354090926527473489950719421222209133953505476554708205 8948526609617276411606376111486762170961428677914372172616265449209040 0727763025225467940134715773072698351385967645416005340694116511822103 2264374769109325208374709532627889762349933654252893094219227245651934 0081250575925028897146738093721002320921341102599002144545683973615006 2152566888196566959332958510711328547567281596225579428336224157603571 5447798961187761245244610851082817677453783065175611485714181796529607 5746049807595165678501596239649681407348135929146154485677680299355643 6,\na[16,1]=.228410433917778099547115412893004398779136994596948545722 2835639366182967824509778177156830128701627168537008018818227209858516 2970856765767436935188984537061946234244105620212726918313448869094233 1025869436609573522831333479045549908033496262881296518300797646069878 7793349532914006722563765603509572240211273784264275875120379067927924 5224875546130911987935492825436421196859405869635893735688388840134806 8807461967471686216320749626287151914733341509428827526696088868423425 2785081352190319467577753952724707707567352168853283187532307805666043 6518823477625893661255217184677740923061190232830619861868771052329491 5361945116161700705290750436649074570300967768836718556787595653359441 4089900768984116080372187701709446169220968367015051978151969275465159 30929577491783399700884953148236672174200648171148384,\na[16,2]=0.,\na [16,3]=0.,\na[16,4]=0.,\na[16,5]=0.,\na[16,6]=0.,\na[16,7]=0.,\na[16,8 ]=0.,\na[16,9]=-.49870740079302525063501656744251151213860377095968229 2383042,\na[16,10]=.13484116833572447855259670379257010479170072720598 1058201689,\na[16,11]=-.3874582440558341584399042269240292309351610591 4280680567436036251756118915899787613539249213095024211499542218161801 4438279153470174491613515275997021450796933605250539623353325970505939 7176271657165343421345794806891506633166345298193585543250848420698431 1304617190583628200568935859503567706996690311919158846632480480060907 9684463054384749424401697540002999575961455688346484920221535037514575 6858255876273719759191629118482785349091872940267750974247143435284735 3231247768178369316083039887182052468377941125672727639895807853700358 8589334263717744092800322664868682210614683565315860249354168718492882 1774087475309771661793822106439278026173287084820335205396569862533680 0128094309004929139310788736695500476548082684290510705573798044679859 8428680656721396946804042323470963195418000340277999291764133097e-1,\n a[16,12]=-1.2747325747347484424038843082490895238097929271325035019964 1738821368985638963726971207857409186096712569623813843767230148187528 5638988074907284421227181851995927969087014661592530071924014171477849 9468743636641769971089004713758830670248008497103238328100723027696733 7349369650800511428448896965502681698857327201500620330253619927591992 4400622478004490920287104868037815737701070059844939260659104891121791 0393141463472171658507314870996867060497571984672002159579001206623342 4474649506241031948038248403138322281824274079684170828549311198450264 6471163016118317655266871524690941142308487277072656515598031288541133 3867433293269240131581555404741182597849355052093840321412682719216669 0438395019866290110985501783591713527218624391856989079756470603491712 183013076936286583181395710771784161086210087184163,\na[16,13]=1.43916 3644628771652011844524370380818752993035779118396305246406270252915801 5770432058076278535442634581686165782712964664260838671994074511359931 5316777512751284706253311580248661894302333233685684963981828475996782 6140656839161169142291600312226261563577837949910123100609371073083355 5369242359307108263890879721648170051277690365614806839132504380139368 4708414772317736346729594680610464467064415402101137168277772327406515 0963558237726913949809498253899897974720130456804960965678429561861182 1731748238823825483496137629789019728635834743294674162536877409604038 0585870781518362738776901612302335868441047580522302032530402240059421 1924334147163338657533118244927595359946417585932503618073427233218486 9391447409743526580763923990053986003801835588804115747324368084128972 1851297299298240858072764748618834,\na[16,14]=-.2140074679679902542195 0354082734956963902809234481279549902687360315267282853517862834487122 0944558015872851510916476197456282369257729006400502011103691216359204 9635350070362767412572908947670669070068762135564259509744163185531138 0857185821068604526673775898729842536017404740007475709254499963871259 1261745820379610829679605136404716861078381148156767403013216554733292 0670807466812703070843351224301659264904624847134450186443187761255838 1282131194988322558651586128460172277394562829911632453954724539627869 3125533882614492853180676563330551830728255989774583254126043931736286 7204456885563272282063590856155253009018487932785284867586655662407154 3563660184103222609898082451472799148489970581788321846504152597391475 3395895573270521403803611766347656038963279495919035313227311644136276 271565693788430011,\na[16,15]=.958202417754430239892724139109781371059 9088746051536487680380575432052006086080693288005515382809108421014232 1045639629155316373083410435503568223278838576107960029328880590982302 2180189625241782441232399631058565210906507842071679135310858678700543 8214335383961344008345847554484590449713751041833357719978852750123449 6754576735368059841292530206029881787965123097659854102736546209698081 1679358699415181290112721037610516795813538117072955567536053519424232 3128265250444163356127445027021545797133029350661394662602967656575717 6237349046908325621500843266745003811647959610805852782150654122138721 9195386823552512434454288273489761734668367875895972168462944075409710 2693396183132897137201753355722674220042866339956851333642747581493472 3879770986998355667116451069934517127285155808702723107151618944018423 0,\na[17,1]=2.00222477655974203614249646012506747121440306225711721209 8013934570904909077811687956420747298645201330576312888630684954231675 6701134978450307852131547762584482956021957478971823078812258005730285 7580268395670463042514848768892968381758982895903345069181383016764650 4041961021851738086496216797139995369590941275651839173870657921350831 3462533498316722017983762155559258368888727716809189578316831225913270 0874370343718555713225974272611325542223667632912910833822223367360145 1166904002956490294463399840363495103331428725529907597623016411744264 9710901318235326353959561695731148967825466156463701169208230146813475 8841872647734892031341148766922648465859937802928234930162239967801431 2753167359558757013216249815809673087349076788867107380636874062614597 13238046415479560361486940178462874223772453603085727,\na[17,2]=0.,\na [17,3]=0.,\na[17,4]=0.,\na[17,5]=0.,\na[17,6]=0.,\na[17,7]=0.,\na[17,8 ]=0.,\na[17,9]=2.06701809961524912091954656438138595825411859673341600 6795539073419461189789965414879526547231052311757202948828080144961573 2140246600662289170154974589002036585654492057478570140908643482048825 2607790153165103646527596710220623273874187294724624897030050527928352 4186264647395537713685030706297308677501887829860938833811961033003973 3316792398297448777356849520363220462460414461692642562157580036750002 9966090489846951728262699028257929818973418809326027183507546644608752 3743195412368467884376518390509275201756858513345489629310766610733650 7101378548442760776161715144550444164725373513924274871971146941097523 7592098159892844330480668800089431561220347401782724356240871173314684 1672442946624956891687378407860248537858201773518194897723827509349534 45669414666091385165878306756374313506413495059569297186,\na[17,10]=.6 2397813608613954195747127983149446615529231616702108066314006415158763 1998683564550375023890953790672815267363903588235665440197397674362634 9825274372610144482742977964528679508536506411365355430872401589579693 4347464413172407084330752969722280579371342176867239821517153188733644 4300691391532044843219719558154506025327024152287546267985310647018908 0506347800463751164348564805010637761617041653242750125638344116989727 8042349426372684556151007765886279186179239029295024642282146801272632 1600117082370755002619714946449430040663910955108851332018804675671020 3236356870419431146661524707191720326019362831862380184722410514740967 2867286633940260295473466478901539639774704318038107983255613285257303 3509088004750092769556648765402772592979749656030915232487145524609417 500196160684176221600238349087971619715,\na[17,11]=-.46228368550031143 0283203554129062069391947101880112723185771757822039422201920016724091 7787188786570131949640013588019209478933876396496737426140992881320411 5929126686791329456770938248247057800287116002412391769187854452347611 4574015261407266543273573736488409231527251879043223990655227190561654 5134174329258401366306816757926892404554388690513050777208603914908543 4381576127650322404887825271320542341936860408492736583404211384376682 7270078580442686117521875051699870845288634389323196077197480113565839 8466894419147627558631497122700993058104645568062554200396598053097013 0177127264471495161992728520910991907314298863792868763863881290303463 4765867700375849909481250956832654763595233285161728099111644391945318 9337203267492060726437822512710744500804508940331640999355297396433121 56833301984910446936981e-1,\na[17,12]=-8.84973288362649614860075246727 1189492866048354570927010946452349296049980461005208984022207343142464 5614576039929720046706473423850689116259759502928511717136303826067075 2894802787785829617193038165697137900044999053425408709946068197174336 9860250328579748492127261710278942427821529557965717691296146460340327 9167933081953660572206020322344525152759840241899953076691113071426457 1280821806636654780588196714944343582282493379870973906569159152712203 2884202909065571669389373521727790664510132996432047423640354272700173 4061261735221911381709056234863658483214867899272048776380489058664195 5178740595324166713762549891563562849530905231115922471783918292580741 0795701204862218184040830160044184989338347346197800694858577891419746 3042231633600966478311004511487301832705509724761567584173419211676905 4949022842,\na[17,13]=7.7425770785085597622743722579183558956018859078 5037197433628535824551432392497767426694567955683374165516046496729234 4731968180414195994982403299332363312871118921470512040160793497223285 8079573780323157886710119910877388657523257413472734669523439797017137 2753495202248247563908293579960219558374200662953846822950854869254943 5380114259879790611162054538698889558035700258940462751694188443579691 0147713782096298493237624307467404724929373435112227140299716423329334 2203876136058526584235562181888655995342721735698947229927597991206813 6187358785031220303667782172710668248965850081119949674936263597524459 3603401882264874661280100736679463988768383086417012679232321516559241 7579960636180912369618532726692950467350417318038093286886676805526448 204437824400545099821051082069108713460252575056690803022081914,\na[17 ,14]=-.588358519250869210993353314127711745644125882130941202896459002 6164853179425282383759543627023615980306965695274315496118649346618813 3926738025646104628888526721040851526261053133881472614818187684594629 6150357452705176423424498943280857617135024005119370012416901368629725 5539912822461148249255998261251159676890692547397364279547602219797319 1179142395147872566058586938313127014475841897339934555056749450956129 5014225059085325025464498312393062773537788023774113822726659712897265 3698144745943749821948811542984453274601429074025232543841861071901221 1677645563185934401544416724036046981796948810952971169980321859729515 8893643336287966179366380944677523571643284723766196473864077240598121 4331913036138156057009932877128387616361797266932031772471066794974870 30016948462725214696842777479708270544200160382,\na[17,15]=-1.10683733 3623806493957047080169530561761957696170148994429009662680169614076285 2214204311027045257305522884929154671632575795945838370870306917296226 7290231543343587150311717117272595764031579365195060270826391698858588 5385767597085727788820583580204632707959527857674806318302581548236204 0235416061065728423654778953154720983029917835499419874048437033334894 3866300695844149233064858995620433833487882284692369653268442884653886 9217639368325560163996743131803930456470694092251755583114496276082908 5097382852026554547538904160266653691931364000044399991681987394104966 6627587849914972322874746709176822432993116187400347077895119623556029 6917802407986967074157098768296826768453004250086614653010062665173057 1954388048247866042268437814486494739156173174049539527820484346637249 8348342571968169536027413557417,\na[17,16]=-.9295290375792039997783972 3829123321422078805751189974750707363399611694000508243356937629673252 7509706892210148812629047293217846399719411819898215199376447779150530 8992912687140957502687403280203938593419068293516708350876357302088784 9476676462095785759217135469889987016512964945918581569826330937439018 6054604219795438413138010335294333996597651715230065945154680109836122 3892944788315350004942784597869784588770642874893511825244508729023707 4951830668893072066735980754197830491872455746587684616239318097778922 1092789633431702181611326139402984591880710728988491099623377091978326 0900823696469719359337277463602245120437274152064979761229384765302733 8724556296394476119458752960538577776598450692636775606695354703101173 0010612401923373533788848353562587618173591411126098804222021208835749 165771837051624,\na[18,1]=3.137895334120734429344516089898887968081612 5933032210026831644232689363325349306421426290918457920036021781072205 1503872040805864699182377088305950487956569478943916465505997070391666 4136368878780091175836790204732175840619765213682386788170982723388403 6284951217966774494333482552806670338978983796511977435664142117481045 7737596685463470497119807011478016353568553561500916041353143248053834 6117160916698808455830797178262458277957322842830367754588776572723773 8213660260120078031442737383952905042046611609434581082676122023839515 6341415485571035015019530102403934761707530162788810395694817194567346 6127393950562899251348116475735250350578165507087769905802338871758004 3145624200283659594421229415107407396897220030390016339595370126504755 8127920416541907325522160067006927253359665614766687826908774512494,\n a[18,2]=0.,\na[18,3]=0.,\na[18,4]=0.,\na[18,5]=0.,\na[18,6]=.129146941 900176461970759579482746551122871751501482634045487,\na[18,7]=1.530736 3810231129507634256614321493903117750411243387431301046011908093086989 7003884580655344672189519059484574852258910746677597616254022122216171 5591260344736389835905672355477449281057375876262653238608179465308436 9636018501936042117167151575689793436732185564587155305995346522820601 5960415460703434643745882569983014922982071280627212960480540235898782 2234139231559246891682992904455576935222827512257386098992553252551413 5612575909623103072056796649773118511356654046096331258352900596173445 4709002221563607047254675889747668773152335785399183991375132898991998 3361682502577518970656101104674598880000971624782119014462616229630924 4713591222123018447628487887658553758711090062050296659201891561603175 2688853236021547322111677073922333748465459338580069924538738319985548 008634190689760327419895732734386,\na[18,8]=.5778747611291400525467513 4945457671533489210041857188271803631541647496837603782232198105676577 0892772926932567553789839624308908862935646851958985698614254989332254 1432467965026032806579806434567212235258486005149965415951778220554985 4166585212949320580675971128552969452043319556207423323704074258925526 3793861279603924600410322797626129090584528350603923119764272340936588 0004974916520374641139865315316386572389389309258484655653877060237046 6474957071482082854048575236314210302552136069613434564764238666606762 8571617171694919448262690766708408197859549306402781660190695103374880 0542252743263669571128316257623856396542421443388364016772801401935575 6139338828302850610515461656241821137496511781319617975987105755320094 2820365245853283918630184014780962019841218390267109946370771063398187 382757154605994,\na[18,9]=5.420882630551266830500568408918574219413005 5885186215640336130977023675238365503950250961334371343251561960425352 0469440058153149383717881851326125566180672529029342185431587279628679 9592795787776681167609742644731917357118607936484813701991343680010777 1829819972026062579865478677610099423906792553759974770623018605795382 2914886582305865516655245600154931451601232107084527603899350976656753 7819223519399390554062249622290362420192635792237961719923035652343099 7883645440955160731451478743848194997435383378920987577675497075690260 1220015768920746772494635631232246901858674814240727795504572047180954 9524575094985121696003410075469365810933683955668279591188003452116900 9486103828500060054015272682135144133051705260645537697664199554756192 8531382000257605766240840486007917042480644656298166640027244914916,\n a[18,10]=.231546926034829304872663800877643660904880180835945693836936 2120518257309935953068359379459521694383461568560832342989950839991630 0127533368907287456150577559815677739349720410759667763405017252252473 3160064270933258482738820123542038927165222949257845289969369223725586 0192993965389703351098778639220419357410016580608011309539058681592611 9694147389689527814496006915907581301860127735484634012928133803136349 9691354468701886835570297980564506922223307926942935181926048889904184 9236104203474630334137497739281511815877913345198715967435409446713039 3826193877324687117396378174822648777973480640077176354036492014776502 9904695574760068642013505833218176139447144593099586802238411331521498 3692713985705539880003878320043688933666512619954459095686288435117757 22013858432214869402100200313705110377640225287459,\na[18,11]=.7592929 9557891356016230131178525187356180134233319489529205979120451370424326 7651881425621178305629753113280950832408525747579258799922758889150931 1055200859116244186045613615493584133990368206690785253831339046520285 3668429962762419176956542868530243824724343624642297709082331146708041 8563721994697468713288511075153651961406483021244522003974835341724095 1933979956474205471000964237234089782987126495730499204736959502852590 6788490871430543667268456993465196231029962672437923622488012435847831 6080856279344496089843763509092719038858123749259333701981259572992531 8746651040853760895166766037244445833006742499717180068105514167138924 6562890116267028345515699344783960758194703386023535260898886432921796 5236191286625158123745100418187905437779061530088113312951683089621033 383301106703190586033755645232727e-1,\na[18,12]=-12.372997338018651328 7414553402595806591349822617535905976256219296547909108779334273322960 8333804916112811555938127620310968940234357601158136589449450128477626 0154770958664129341519056893553080586506013646255774821008482070952325 8740494200862803131196735773860997418063319437364230181248171017653141 4124683344440072164783190928719276775372396236368191638548056146615355 6983547098913396689835882204570633264027866964405232388006222621757361 6656202650375292798324173723669211663295062398119549376396275337404617 0451014032108070657653956107769846771601035223658092766085284425801398 9168139844116333660223753472608926209673067461396280263486915362328120 9013992529205978074657794074565581634427567394492545997263576668256360 5402835349513477565636749561963259806006070536194032524713756727844731 86696146051896829886,\na[18,13]=9.854558834647695439359572093173692020 8036776572177710190697961643431053744289689732747990709835566043690719 1680663970406196297176193098961359998237756336752261038973193034447541 2331190194867195687104012626743664478973720500112330869373852816991205 0459401309253429082450272902573816133621402057670444770098855727247376 6471456007992552957875091675832099071341005456986583156358219173626802 4132311486187500339721414115489564089596399689345066960126366050517552 3160521641767075400916523367015914391612791482104875452912287649379567 9454330174280442733749228383722473034883604028429565670651354597365554 7239975725666655685070718864359512723649758691462340020381908015900601 0763266442376028000493321268101844896778190372096276495611627412746691 9302277565860068314299468751503542166381195891681705620775225483020963 409,\na[18,14]=.859111431370436529579357709052367772889980495122329601 1591248114960893346142179981949546936602046745233083937171278750813964 2723414732184752355482185639068112886792292497833487308669265655816219 4573999187427074442200718310997405800108767280472746073551773422556730 3331876045611182939817710538175690258684548389777859071880178258609443 1234590088512493012810244586375167089160815229073588149837059502079546 5949636263613833504561561338338638332604715545437551973426195352397988 1059610158980202697319146411903684051275541818561520644746889906513828 8928755620562332854027156732192427076916445869101052831785055083973233 1314650282461449434430773766189193336491282774018355472336340721611492 8582177471535016647324048439898146934975534961592328504612865423672212 41049364139112767640264080764292392505290637780903562594e-1,\na[18,15] =-5.652427528626439211171820900817627611803926026441892186739654808639 2799535858255152050453176204508150382760020648217301445720334913516729 7734572515891906247221662484739599071200793970595655588463882458794919 5312709436404580870718222360680408090826123198050728243714895687314161 8604060471261296886227480842806089720679810092853964389260618120766102 3871302098207146982252047488158998934010843155333575105047047849299747 3182805812632629123856774325929514052126378478610704913589161803406346 3151660140402526912693677624149685513405030544906243017580317139957733 6900425987288445276479038410764147233805327708873093530561439109098447 5510189422649519107856357067857765623300546504498097205813918827978416 7695932411220307989806755080976901398091223269156704553626591920493846 2631281143849743421114616594918601234352490,\na[18,16]=-1.943009352428 1961088383377678236428772872489912416692047787342198602567335487497913 6876349973065047094162748815261031411165388457202431150751634153363784 6265679307617579577368865169360107238734168833864717211494535917950773 7416121313329221911944325753210889272839740530263721838187501478271639 1345542711431583749218415606173836006543206561143859108895539202153984 7728710195448865842226681290533596459028865530606202798487330372756038 7708973393188667745883953729389400630443056696422664637899654344315645 1969478585873514344940549223898040235943902436789425647467826062663493 7764209690778337663363959426993315558888336121456294757336918494712987 0106616632725618240184645629731176998512445903535390265202286386524022 7935976381147257981783021215681875253444304858285960699626551231715119 947709981210803662998124058,\na[18,17]=-.12835260184940454201842871431 9344620742146491335612353559923275964113985646537147595850413981690452 3185246646204457218950719020181538698449301647317058875217040120469960 0820283851064126592901764536772507815154369968721159741509709646409082 9228013810985901681416348282638659904834521436707535080229313720033076 5695496733470430309919708860072368305037850439593797927488155746629355 7560862121504375759386035292798343995062462020611529216145790531623576 8544384772186889594901696250645352024296781019195782020009955284482892 7330355484123078170910720880818345757613164153656202481413457218420392 2252504218957602902882685826079277175369161901407824638857747818596362 2881549732600452437953885843631249832141430093863352931962635376172111 6226264392785364573985825364531491146374660964695143039463018612383859 63049818782,\na[19,1]=1.3836005443219601487853811829816771682516326848 9922519995565061823249068305642898535431748646895063962044706187222373 8435572474030916307158497930024326424012140548434110697893060269139882 9162494590424374769227774686291519926009034733465783235555793147283864 1714186469462166518410139173971226822298272721653857010051241471146260 0798992126517372948536146646451852949877548285503807459859765827306860 9203225187423541414772022428314588405439855517341304655804452708069685 0630600763454856691224333657377579547494427930976818590760312077760560 4948393359041047418472394609880586618478897175526668560891567976984353 1756753658352399380758880143922523529569282059254662279709455825916320 3878246798275326915675302491184009579931430514947746886980633538310847 782472432926086758839187067627604812507065575238966631987815988,\na[19 ,2]=0.,\na[19,3]=0.,\na[19,4]=0.,\na[19,5]=0.,\na[19,6]=.4995282266455 3236019779340842069280040589114940681409195581002996119850865583814140 1085601963976140714894043717432439250500593167333752601057108815957123 5306109659003586492787351961785698926141764875632294676067296446795093 4610223581677604633751225450595370049663508809560393215733101755022430 1452524282694776116645835552236167886454324480116223343716222325109787 5387275536685682073330044381043172105334166247833895553127056838408240 8887615038308204758241479357963704905113757490874358524602175805565334 3610221048616183481188497141635266415369389251807626932312652935549333 1246118456957416262614687165439085522863725876972590712281028044073582 7066578869972526942641115823737280830000008836173619453586549884584353 5354585526165411329274452772290080657862720053519369200983682995419549 944532646407084007150517225e-2,\na[19,7]=.3979182388198289973417396030 0134715608343506093142497082630440402507005253915496557518832658382534 9495391486666212730319600328552520677691288913661623801166703036866632 9345812349788651594888134421886501671525542291867472763634823068249666 5175486173479535738013669399324755098512823016084635332621333904310806 4209808088942532354061067292276378908856944756024822051711079083152956 1785620991483008755054590277432549230091754669753902474695417118961195 5144829147613435446537921795820678305754651993476750705114207764964340 3961292758409262633914174004252928948445900268302905980213737030733369 0432569488233539939527780325616844793254885355264083737668861885910731 5249024887749959982533699083127775719520506690806545572577497668834236 5793607430288336611829586308371636817370614527622575129202399290229261 605517384662,\na[19,8]=.4279302107525766110681926083008979815582407305 8039640631235946784235256308538151890103259828975310535454041941898298 5486460624838162960439691800153301964622464399803937358172788933140238 5269317648261384932004776034908098980833213366746150133018161928664239 6396180159499985433091900662220995755585903090267608976654911767684896 8453026639326941792951513000109768028353705419970748756567941130793271 0551816120864342826587256226405494687467101136565118752369582946957146 3413927896890485163388784874158067391366575752186727328745219286860813 8652078951643582473088994388900675206534678126750860671703325531339031 5041961405447929776971997926092003085822813821259920663230152182048322 1026633591161008449079899244729823707043621645786895992674142600492794 5689128915709400375573730874549362933349456606444585938098136164,\na[1 9,9]=-1.30299107424475770916551439123047573342071475998399645982146148 2811069921735213561974689072639960772433999029523491064278612671463679 7508562418146038031261990243657552117765857620193690126567975890340234 8478453103784830744894049720738579380688559963579063316113117924100055 8777193162771966942697036643184581628684115811521840076378955653858145 1435620516231566641462814239394281932857316583169133088866182085373759 1580125549813670665456267594873696063845324485987055146625276704711928 1317599356196372178503448258041368655454949105607175628669084762264081 2022205235958192438227650955391461644875146817376653835340082313604735 5860860146208377228260160535644218922732127924231550907373512427075778 6551599134610450733793126855499112180141043452519237967602704440375937 63263559245743734554583626865475537934145998693,\na[19,10]=.6612922786 6937702909711252810751307273457341229400807150069946110676935440048950 8115529044471356690051956263189396800144590477562637555869617676584797 0513181739659145303505038835301363828660670128463615005391074787239200 4616992695846062641556950407269164511493652820299478648865489557110915 6358705456132723250926324299077808581897957610589583549902916943198556 8450455174001997776831945307558078318806138104026571821676830769262710 9097516166985426800731559011294992057351952305636880441612890635304085 4623115748987775517013185112696605288527692350097118525186978682403495 2653277815507077417605394540454987523050220926819897329808514564442427 3713164411980902934299225965159092740475104841761213837450390300148876 4451570093470685561931551517869187919284777347458401114976726566403289 445616754503740185607301202844,\na[19,11]=-.14455977430695434976596939 3688703463900585822441545655530144646750992605369842762533079198086616 2654827399490636203915311380608167248035900246648361400546778243936774 8205117237381583803805451571976152963138625904555250933292067052270363 0726458677813293723900627024622592924794300770094688531893984733680430 7177299564929585997248154344542395043284333958470512643297712737341162 5062153913355195607240326524808229966955752252680924040875272135564452 2896142007766346670932655067061364311681502606494641496950025958909202 7190127268597876264949681191517618393625566088709859831980060854985806 0360852975652682149311513634070480680133452945398561204267211896834076 0251338550437325558191719325769057242378134417433369139428412115122917 7002507837068764919087845425823121473885558460080847425874571167154312 59397462280343,\na[19,12]=-6.96576034731798203467853867461083919356792 2481059192554608250635478358752496696344632872752465461890868209010725 2759475099565509683794062120385182201006223881128753710229144747347141 4079691727497428632857374082696841319981140232898591715692979484388976 0125905841027399435133283756663360584792997173263960823111010430643131 7455338461605170351848084574921271444718248464388742002682878315790377 8889780516265576171580211803137828890292787413807829343475530183042592 9727752739153379598047233708795911683521626701147107962715468329082447 6602086397463068181525627198391711765569745272282628448048322829534540 3491163198721493173336416600055470157919524369343590574733789546739708 0625242821551341034779488789814239644172193429275434947474551488983841 62879858854232336929570757727069045626479584971636485818507971699800, \na[19,13]=6.658085432359917483534082955422104506321931975769351207164 4293459175178200659306030698545954865525460357265488569871314726815916 6365995959752906006011657230135294082592614494238418973380384320801076 5007794248976438216973506681803179713758016947450105299009654752417700 9394779425374010988454648422488895212843015435684779780894866170591317 2737988405775102893878939724564213471256513681690036268403192083181307 3318165322813046177709604430975621598547916100678790847551887776500644 0456190797648833574992280164008433857094805849271765577638695865935557 8563202956928176903060233551720819701578018445303375499020605876781977 4266243845309193221106577463095152358253797928004330337616182235246551 0370517095573754890857859744858842432614633460840159461393188839333714 4587442834374959785025941376875914691641481404743019,\na[19,14]=-1.669 9737510884148640469580572551084504980796919923622757579727561833703864 1261917611049467318427372065993519962038747430576431015643312012893748 7878646208370534316821136756804441772095251471004601729771436391946590 3125451778027510452954837118784223911677522756003896513447316498119130 7293347670171095571539934962870025978559421543737124323775520499558633 3521020815871513586873413525520796797405078609077996335334152471179851 4977104023845347335576747094197293793297524099195580359335125371654094 5757298083563320416059057972456810153078702218144033688156235737015288 5779103478652221183509456414932008735562260701613690967998459194292170 9044245146433196246353001265485903446582608993437878391811919698936498 5225952967928339810428237765644589329484735583360929098837541520225231 169010381632953852359526603641288639,\na[19,15]=2.06413702318035263832 2890403018326471306046512239864521700896369142928855915137997534260742 2666561846346706124268072730832544087412930787888689450666792056052223 6507693329189186765314051000122753179650312726519262239126203242539543 9559341871090636188339318240720669725534136895479966042220548932786516 5834462852023134013730736218136851866502809586391244927709465154581589 4557963557141786686250478839486968624145746130981811137474691007606132 7382776919644966586993079995377903497919327030033022791771656830963517 0558298570272098252627055038307433126614765167777552419172101168645171 9641494685757954063111140874325071650145060606749299533592848677261799 2122168293200231985936229849155170092679800436849972194670311844304523 5585051738361447867343133520726214503090926817056104260874868620355829 0305891260277430832,\na[19,16]=-.6747439626443064718629581295708377231 9207987599840505864889168999252115494379970317440077569578073991466608 4178688785035875353029015102957177540189715464326597745593616300977719 1590689630647473257315969564482312607316597978640198296231721913539647 8225187824069339779774048436083064991414808841326851346742545969873944 1023257298387625168806829811459751783967541984572772981708230703271183 6240354972383513615991648168299751507207451050430412956550334950762623 9016645967497367145040788401930264191560251977423036627613780464035051 2447400097835514322035641551284804269526928394691210005519130038448805 1390567387120883727242317851718055257800892688862615355591350261389916 2877725017289026466062929657582014430752362232595118496582149974942456 8715105733112847408112976590334497081987754198922241104004821091047895 418,\na[19,17]=-.11561883479493950049070360843590761005960575493530558 2045729201709515985757707820532384418130755390699872642298798733998463 1553298359993751537577265780965936336029271231129642092272367843749819 3533907755386336717437566451546927926794833529783808856677534914285902 1777126166691597199746408544530304130060990942496627636096779312177215 9821986574936222981543690450890282094996486711264749470346514573574998 8065002997296729551963257385328800124052257280763465253868908631153928 2798666944284483466081024142029605829248407198222507638998460649659101 4279693618325365960343681814292891572672831779644946523969063797045847 6027236487743797677683722728758274446025148310227573742526743247668725 7386008842804319983085657854770338296298808213470831817309142913577097 126374213241552062262943182681483883326485344825474682259e-2,\na[19,18 ]=-.544057908677007389319819914241631024660726585015012485938593e-2,\n a[20,1]=.9512362970482876694746379758949735521669033789834754257582261 2432920605600823034789489031583957083255328106476158016390229743718625 7855873873795650530254767679254439302481987764462213266005320922482683 6702220185519444345702539805183059318696120478742699168713016599727497 3146549762696752590397868323744383609615230549171005735442879918074787 2733833350571522860767364276530272330059482427835755980735232232506677 5614350489329974226544353675426603456123156799378306272939727406248367 0302536229716389192145618264865135709737116529419485675357183983997602 7116924609658249360793295148884467489069381797199275951651113736840858 7327390774259969966213335798818485874788455406997577291640909991897339 2687898191447412560019869497991403222785986030750549895168289415151113 6633528928692180493957259340555440508788548309039,\na[20,2]=0.,\na[20, 3]=0.,\na[20,4]=0.,\na[20,5]=.2170506321979584863178462569531599428759 1635375773416768465667444979548725794567436653654612167183301811383865 0408366004023654824674544139879718613057939448142662884356667403689776 4219250802215496391037649957031930655328933458179367878949735848873004 5262837634630822013668486613476266838313607723133506935852804791918979 3932774807063166322823964130094884796415749051495740489226445069807275 2815708111952483048564926652275562122656415162041989316630206678052334 8969358087112430494173269821854227449781805756400458154386189509192327 1693115193168686954816009806742614881673780225910888258040765798809431 1467511563722564502868053041746582790343623668606164265625491397625030 7389604816323229308122548369839551453570640364482526176638979790685974 5413533357364732622069821768917719513810092103048158234857943858497655 ,\na[20,6]=.1374557920759667598129078018350481905944439909394085308429 1775354501880518493101549979504999908793231825721824316469626911934555 5656118907070746383312444838876247502948718677646618379076624224906881 6267802299329886784294507750490817380760920499390790259263220726230081 3618788879948859753977052204906461017928741777432791818985507988687329 1310670013000562416459730625216573937675275759010001679839995458980039 6112934004464536222789236740347901643552002997249362971542745107473040 9022760594477132544424923908013627864031033199729673113714944287030200 5582437649309753331723319448178784476351404288609734265653238004023537 4933816619579050311497586215409883578183666263189412052996812532118108 7579832825162264295367622549944195697568320336214204958143305379980624 8426624433872437646880088208966037911771104241406873e-1,\na[20,7]=-.66 1095317267682844455831341498149531672668252085016565917546103246267012 4939971157632906671444047901237177385214838782665006997640242886542593 4044789668862149952809715111402086675602616510970233879641195602679028 0244719867839460538003794046824438170433773755142332797285351558199810 0135208239990493906123345435362545964285352365506890950372343365734219 0584087092600441036737842165676934269215278162691899045820226077969857 5753533268981363186491050805366443133817594978475490681039235513432999 7654428047510785642510623646109910779080573735489003527262402672526214 4675323993351611777315391040692918304988852513271557835341427060947158 1898477003687867648472097912430917972956047545538780357922911699718547 5259510536800099927023117876260421150856800751191241913697231729232187 76574451640937153803768893684708306851e-1,\na[20,8]=0.,\na[20,9]=.1522 8169673641444713660469704074713192148643269942211209961678537237490502 7952500207921396816533864159178332644534723456933482357221463753632651 1938667935768779829810545784891757464481732297133909482602499802890605 4007956565415867129691797133180974046686972471379882961270850034199240 2428611078651561822544611851085697203349360238712673890808323488225223 1224331112648856590636121770640906485968591850956846113419577878060786 9890744402661989291800833910788512100963199586076270526311254587689698 6756237334433419155861102068304926462643117557439461285361908982240264 2796565487202560222375231595717842520098111875389074686327511177173695 0187895149418009293778081886605006251104633681581834243319160123984899 4213779828529699367586653374816049876046829770766393032543035231709261 553214555966131494959018463873743981,\na[20,10]=-.33774101835759984080 2300793133998004354643424457539667670080152678887844049090253191877677 1597699635155114033284773430499934616977952022378740499963980754848699 4773097462891814719380935028128416461227382782246410725789617304556705 7775868202189550107101316143455095436366487919035583450549027696539712 1991881416101924778581455033886027056710303919679607785888466300294666 9393070330808962222190487328297021325000596629435911605125250388176803 7623733320665453392946521553919276276601305208616519108480767814433921 5539451262959146979081473238663439018976157124748867861474529337053596 6829839299566587432783129967799740779585938070416754024517188714876393 3097860600956104097566156356050205955474796363200715061639722177422693 1272477147935199623875651553765188745346356312999556796938726283487211 60153223758908140005,\na[20,11]=-.192825981633995781534949199286824400 4693531106307879821211327084555949417498597974184687970847553458975188 6824408885364187901932539529730339467746577578965650066523392432100758 4110899455228513232864334962117782855799089970234664849867875471881294 7801704041390730077244635058008281364381988890686894718940481281768228 6265436493021291233975500689693992085940051942052422318352449834980384 4200585385721176693473472064749239624806624464378778503861483519007464 4291957200227464451688785696005481947054250639295628760472895843417737 3440923263292795960769862621283610829787772343168501166901937718214900 8094514825239401344744021392122762484164116789706161000004849745671510 5042420012655003974212603186912544931356699504310794311700119831663088 6814640176189653996336516809680640974095008419632969230978287625261625 8104e-1,\na[20,12]=-3.682592696968668099324090155354996035763121207468 8888020188169289296505282316757470531537119934810274993377455260153712 0381577220536590208381263615159005566292537986824639356453283918325862 1976998159687109880541575393985010234993093075863116674401333874013896 2474813070699275720193696281188250781273636109078706383669211751086318 6577295792462507100514611772594582772483850696360515649984384630071298 2183566856226457105516669413293868236299357528021236595924513508578994 4215850377725669045219345043141775957612032682670744975725395674829713 2160276304838022775393393070214546302692682682133589983818558101100695 4405169881743106541869851279358293072236332440825210831940702052773221 8272066895341837470085265506972326344842026056051924125516307970905013 7578574537442389368694189423132503113551504465976792835472514,\na[20,1 3]=3.16197870406982063541533528419683854018352080342887002331312137568 8872348961613906409815411777705381023275930597517616057221766460908288 4325737624949951412058190452485961391448561790941932786693249861584966 9665992574568989246528924789148274727795686552212572789055566691611665 2074351223579040619335867233933028650730387368897088298812444388148740 5351700833648471700248838192417518722235170550119145230374208932973927 6526283351624109549790953132017261529729712202115906184217247649270405 8871699775698650771129235260292947065600810241737731599216386767626163 7825759988659736050568349981334479773366305239605956026413910295631533 2861375253700022615607238154475213502200672631710978212040972790564572 6223392904576392022426947593133873197131154402146351839170213342679040 18471239894756389331336794146247150614203919,\na[20,14]=-.370462522106 8852907169918560220511254779434822840805691773856863151016773010882921 6182063779776512711798899021670231936326153668294466861986386357734832 5940054545864380120731115631681707668575537718094128606193234684173276 1468010304430210427804673433502020470682946920115295673260393299348597 8077768472150596298720545454320302156448978965237672347802524592373783 4095272555509327228521698906840006106009687717902624792493989815119678 0716526268301139996430547338236969473265464085664190991327067725086072 7558248297037101949296340204011549617533799957417980296475057909841337 7104966258141195922151704270638986994951477217789275213409200374289210 7345194501010623039561112031318499179484343133252897349738883330488500 3774755870100018802046877489568376015855093851872419814573633331425161 4839570861750354534393950436,\na[20,15]=-.5149742003654404349964344566 9812798494116861647431687102031423066580775508923257794172237207077377 4901497775374276979228237166620381066124497794769683559335678159286778 5949625629632509354286932701222398497536817782468883361364967383213631 7647246883370693709473006493503458376414211093353711805112747089516056 3627816049255747041145825905983329755560490159302633393771561283703542 1287629235394351092951427945625866189957644158978339582373517727999918 7218852475469687102787641964407396123387349693508255318231463469321162 9270233396373511717905033211815390247236418789765182309197194547436505 9776743589118199917189203188008630559529718156141555143631510503939779 5475099401988813674916235075668595353125576944630495627443217007416586 7358527860656573379948882992576232476687361341773024172640860855599136 603633771391e-1,\na[20,16]=-.82962553212015294678704354179284841665938 2675202720677536554278422042509199496974669357535504777193472081496013 9427784084796973298274704185727352737128189907295527825981175070759770 4521554518711735803102480708800366275864207907547034077357392142149593 2827977240100036971452632901265957161346572925803878463907464780641536 9046746128176792281701111818566851331607089780241751911013996875202992 3104185830128975051346837115408127885962879200238558853012971873584770 3332330234031326172188445704965802147637130894674532175672886914920475 8502442841568760545737160190047432242594089427326642497653550043149911 2275586746871296544530455059790648041911686756234716224220312598442568 6448181042411632407032755166157202365185755943409591980474187347030901 804385824599111151304359863426922805440746853988433297775860731339476e -3,\na[20,17]=.2798010414192785989865865890700275839613554026408795032 1350276538736417381925197187144899358734361978020178892929878773942289 3111113516745722143083949935930797654757882138404639370591179006829930 0403778544014699604036959720463696179056061743072042804251512199794304 1315895745170551636746610714224297980459240998013712629025814729980432 2996305207041431014916258075427259310148506284777527229724383773344724 0942232065111284546859256887333848100769749774920858144658893938189084 3749142219615092680472225225265423754456071673247913442458992706167477 4491320518174906224483184310955338889849278473134299177036012929428565 5733458836445141706854190837050426716009192278643630313549950634748512 6524360521423120193679828395638417741900981420110879162744866720074176 0698690224783281541137385717714570177501203797305743679e-5,\na[20,18]= .418603916412360287969841020776788461794119440689356178942252518783794 6844315554254799756760993787497856509886629496545854365236592846302852 8544854145526520784635230070115530102350653956166620453190970408661200 7431376739246313299438871032589354669215606398681552646089785032743765 8644004182137022192455658576037949545633049751789159878506282447561594 6073771064528485343046667301982494159059117754112925683356521593961540 1880122964545363262053739749712145655412448912187611822057672631796664 4253355243411826690684252779703879160395939593541927762970321673305382 5443429770565626273783274141063632125628943148737092807676820728392266 4027580765999765342736544285000968706664609895249992882643719702046011 6152830034266324766741814884093671224942213588550506682353681278846976 83360915514956254712984229179302395128318e-1,\na[20,19]=.2790842550908 7735591566087455537964996628216756012626929022218786254370218701962715 3850286242688782958866435043582082278036495112879504225855519406267927 3634357141409486474959367035610547546817587085411432331468206792667303 8763116867936418724406638083132858774464712984571076622486099243698741 5012067362563883412627896064229993048354180488996611143196428762557071 5406344383473206391776460323838150194685594358708951819028618513231321 0409706612702858654239948765250303589467989724352577911527268367898845 1147801964832674538563618848155047122516735165832232871115838943025822 2722938895724436709852727285659327757638065818769281464468822455205414 9420310804489368533436467563595141247958291062981071120938473011621852 7414911771984504892182096096024385696400361819747658247248222446296678 407678838691271456834985648,\na[21,1]=.1033644716500104775703954356904 8179154334270833034987924419692320070208366920765728305737047782372700 3469393697850935314232287651608800514237626880912967792346411112849722 6824043016006235637517915769163299496736208915872913386579811606901909 6562523931817052958227279316777106163401499157595045339547559233533967 1881004121125420886976640439315307373128947218287554532037840312112562 8102196608047882992243879750749272430500695908489795080082142809436526 4684887316758187946716953113880817363259711012778909335129005412587856 8230370704738834384388866784610847488216990535738531966165167361702054 7920768698675568115306723950189504818617843722990611841787972223191366 7505008270612638108886760531844850193686172924927556349927516591623036 2016262761973711524846432149944768350970856725772623771632312800573248 510229251,\na[21,2]=0.,\na[21,3]=0., a[21,4]=.124053094528946761061581 8892371153282110747849551802980440742772315189064222869368349365915383 2707049672237535774194702027103334265819140958367782346461717720755778 2524421425393161382171494248618198614694036098773340740713809183303798 3536730437066572851669469877509642436931073101023280248479664595696897 5786261261117558438363211920936740088707197437235825853614788857191639 2802561304835727162122303690283827806316014254353626358039356975536005 9920382577773501221894052450930242407917851166890487617993202240876975 7355007219680649104009968244087124411373803955280580210550041468890006 3091251663728685722176073423801975616199901989893070821369611780908130 6847272015206499550785595304447406843097291276145091991234294694154490 8557189356279848942238851116481652563470157018095554980278483453565177 3962661285445478,\na[21,5]=.483171167561032899288836480451962508724109 2575172891773023800341818228904190296838151219965966487249238192234986 2710504926662148034307092277584734226815694849559739789496186656009615 4385033001287176668672213105995757086116482021706804318480389363492950 6459918127634867913760942399548089215415386884545521139732839977540310 8365448203128123979501241871747042804827561879378168633848859739121018 4388144750389968676820437311678838265078127375992681174799311194247605 7789715710793454980218067328526703189721453618259111066999173217327521 8941964190125557262443846489957229778047519109488736510667747209100260 3823064097914730361058994216244620405395210614045780177914548256087679 1141524144895024111320951469044043803634024802612805785699309730842467 45271162998507032597865692783582420205284039731471202126369893179694, \na[21,6]=-.3875302456947632520856814437676205803957333023413680388042 9036444855483625060136799141863897958583908012422298040370170164967495 4170044887756235274563785694795435359234961742057892735650174445636838 9332613358639229211959462278522319763873603842241916646969275484795864 0338352633336007074407537604703477708779941826454278580831332798533458 3808015383715832845690064255161798572212930159336537642787363693421716 4792158006014264791567943090125482142880425061863454400897944902866042 2104479031798800233212686849654337301467833505675156629434350831106380 2373395773244918211711094510004924278372717184971460683253565662581241 2840877335749563653881248611951057769626563299697153496846361061932773 9270492062145632824216629142721012809077588351009471669133424126550964 1643171055360991432593021572875550823609279686533377e-1,\na[21,7]=0., \na[21,8]=-.4383138203611224203910597889409601764206828366526006985800 9052511559898949848394575957346529138933734574661494927745994571747229 5626607182093472447563654378412695294863500864125963715689842579637407 9794686660306924283720524188082594385092342180274788490531600394802729 5084398485438177367953391508381112041314370678227045901580609545598598 5578541254435508775503638973120808125822386278520178232582178561161052 4463004776206530601779796978038939729782613892528926456176456706803614 4484837092423610597551824282596044845671861277064204367967944575465259 2068229197921267263479940769728880210786730639074719910699173528401220 6484020635489051995109498839866738841373517695012333974187867516389552 3880259876043461957418977502812210375056557645658148477380206957201102 5191443208336873177641586145002133692796365780706247,\na[21,9]=0.,\na[ 21,10]=-.2186366337216766476851114850171511993625093736982883305934862 3239140260633588636842805896456306803749561630132585505753387546246758 2969816282090967164760726605695227928419335216810185369245375525945335 3680209725307669562482989680684158250848433696437963001843846476500943 5117653579876147304529128093157491877101680894528375639817434305182945 0455770007700289581445312311593365716469625183168250205934922391738658 3553378082294425634607223008074460909599666222001912513128551496110379 6504633985018555081389400349996332888028827817604603814372367073670398 5960099176520045677157456975938390571626560765407900177893705118778250 5534296298613346953570832007752824652716269299364208355312544713762439 6841159693620527091928010004633133309823842349811934873914539253242404 3642324889637783781166522909724696238880318274677,\na[21,11]=-.3123347 6439471922998163499520644034976617475962657812232301557511928438727034 0089630027947249014402029342061788221919596515456197453399997702633788 1167395418456475289839082514817232160979126436930041502907745303029640 5213215246248394168821616964676895007626236156819762374252302918268938 9692584053366533965502319420631535662100377461531676095905461056979281 3895038868187372403323404526245136631700367676019817081310708673560941 3268311071778273324272631481082374917175535877637134870431793794937300 8084859889871451226517482922466770487548941132237114600429843224279827 3970158707290979079156791752700408407335352296280876511065829336299000 7142311898933778927638644058678959431175492683267003549503248544156889 0322227316895992220997834986449393063425543969094150901408519020361630 334702946103959246356124320753262e-1,\na[21,12]=0.,\na[21,13]=0.,\na[2 1,14]=0.,\na[21,15]=0.,\na[21,16]=0.,\na[21,17]=0.,\na[21,18]=.3123347 6439471922998163499520644034976617475962657812232301557511928438727034 0089630027947249014402029342061788221919596515456197453399997702633788 1167395418456475289839082514817232160979126436930041502907745303029640 5213215246248394168821616964676895007626236156819762374252302918268938 9692584053366533965502319420631535662100377461531676095905461056979281 3895038868187372403323404526245136631700367676019817081310708673560941 3268311071778273324272631481082374917175535877637134870431793794937300 8084859889871451226517482922466770487548941132237114600429843224279827 3970158707290979079156791752700408407335352296280876511065829336299000 7142311898933778927638644058678959431175492683267003549503248544156889 0322227316895992220997834986449393063425543969094150901408519020361630 334702946103959246356124320753262e-1,\na[21,19]=.218636633721676647685 1114850171511993625093736982883305934862323914026063358863684280589645 6306803749561630132585505753387546246758296981628209096716476072660569 5227928419335216810185369245375525945335368020972530766956248298968068 4158250848433696437963001843846476500943511765357987614730452912809315 7491877101680894528375639817434305182945045577000770028958144531231159 3365716469625183168250205934922391738658355337808229442563460722300807 4460909599666222001912513128551496110379650463398501855508138940034999 6332888028827817604603814372367073670398596009917652004567715745697593 8390571626560765407900177893705118778250553429629861334695357083200775 2824652716269299364208355312544713762439684115969362052709192801000463 3133309823842349811934873914539253242404364232488963778378116652290972 4696238880318274677,\na[21,20]=.43831382036112242039105978894096017642 0682836652600698580090525115598989498483945759573465291389337345746614 9492774599457174722956266071820934724475636543784126952948635008641259 6371568984257963740797946866603069242837205241880825943850923421802747 8849053160039480272950843984854381773679533915083811120413143706782270 4590158060954559859855785412544355087755036389731208081258223862785201 7823258217856116105244630047762065306017797969780389397297826138925289 2645617645670680361444848370924236105975518242825960448456718612770642 0436796794457546525920682291979212672634799407697288802107867306390747 1991069917352840122064840206354890519951094988398667388413735176950123 3397418786751638955238802598760434619574189775028122103750565576456581 4847738020695720110251914432083368731776415861450021336927963657807062 47,\na[22,1]=.19333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\na[22,2]=0.,\n a[22,3]=.22,\na[22,4]=-.8e-1,\na[22,5]=0.,\na[22,6]=0.,\na[22,7]=.9842 5613049931592815290028685604824334820252149128857595214341459527255105 9124770388033412393125899879244490795285048405636027051544656428064585 9103091196230073271685104827616903706975376614137488364538116572144891 7868383123943224463905408421159771990604968175137141813236175199724859 7883088992834469943865979845326325382209173251289066893402460911515926 4900087067850835078081175847354452815701725632635741482198861315394515 4854236780022329479409181737586520085232196520648220631966030007351806 6721427494309634503044121807489450398120209191160805013554880900236419 9237040142154878044212804015695686038277730127159771316247299819131331 8274235977123601887642839795062433659351237973374849069760624469307625 9285048326720209899102310861548340914426315657203469167558833218912958 390471035070723036298952641858052069e-1,\na[22,8]=-.196410889223054653 4465265043901004176775390953401355324188487070169517581089448241222987 7876305756465018321286858887545074148310277078531838566607995635765331 1197084081096130688109017088529574380854675647579550402837548346269282 2557617906939930951122024947162536558106712632994135305720192791319682 4117941194229503094069054551266402067851186693916287835264129142501418 4857886825251092944847270622175864211595969757123192596894830693571323 0026984963004564886681374476607442184608491623725453156291789793013159 8617047997024423076801523561764607967505020029937416926434783747853440 1354863278453307118877079808516115309670387083061031349050339736007302 1442399303674986799007158187822831789399528038659130856013631253747111 0970517420062579662331663941507530086086803155604711768702060202704388 4199832623824614009478,\na[22,9]=0.,\na[22,10]=.4364579304930687293918 2612258794913760967067671252503476331662830257758766545763729050722815 4867697802678355979853506101475250407432093477029882471187375485010456 2510372178605244761260567079529059110829635639308427246040532334417312 1140084157918173812999450067329077684980936280068481656658160998782338 4026704842543004360753635010158775505597785671844244598153977762142325 0073502535493838223685143032797754628719718053444398915520409850012682 2636832373748394018823427910514418995830191522726366721672822670754500 9814286930931977303490025790617199922516449954599873627892619891511648 9329122335778747362237842247476788782517728743537647670146549347367246 9855958957107487846627260601771224399466756225765994966862457426825929 0354199211859242613045471279860610533926518058935053628469186036400655 674042114376633832,\na[22,11]=.652613721675721098560370939805555698350 5438107084147167302701337621822207129608838307826725520238906371155096 1027552226076739799230308596361816881185020733426841668392358738223876 4630935037579485752526352256492593739330197607676004669330824529002314 7482873507234978685498963039329376797181142156374298348957957353936731 2826417414430180215215820188254204439084137191500780132779213683077961 5126602849748814908560384296656401206370006576362813593620471344056995 7861049968524801409253026853680960700686300533880038919098925438483134 9251220169535077691958479662784915257578114041151017386943623951697246 0366953770166887485783671513133029287216134746703285996641217128210437 4927736266851010214167991888745636655033085334712953107742004388476543 6821762952239949541840549869384458521089245822459404248465564722269788 2e-1,\na[22,12]=0.,\na[22,13]=0.,\na[22,14]=0.,\na[22,15]=0.,\na[22,16 ]=0.,\na[22,17]=0.,\na[22,18]=-.65261372167572109856037093980555569835 0543810708414716730270133762182220712960883830782672552023890637115509 6102755222607673979923030859636181688118502073342684166839235873822387 6463093503757948575252635225649259373933019760767600466933082452900231 4748287350723497868549896303932937679718114215637429834895795735393673 1282641741443018021521582018825420443908413719150078013277921368307796 1512660284974881490856038429665640120637000657636281359362047134405699 5786104996852480140925302685368096070068630053388003891909892543848313 4925122016953507769195847966278491525757811404115101738694362395169724 6036695377016688748578367151313302928721613474670328599664121712821043 7492773626685101021416799188874563665503308533471295310774200438847654 3682176295223994954184054986938445852108924582245940424846556472226978 82e-1,\na[22,19]=-.436457930493068729391826122587949137609670676712525 0347633166283025775876654576372905072281548676978026783559798535061014 7525040743209347702988247118737548501045625103721786052447612605670795 2905911082963563930842724604053233441731211400841579181738129994500673 2907768498093628006848165665816099878233840267048425430043607536350101 5877550559778567184424459815397776214232500735025354938382236851430327 9775462871971805344439891552040985001268226368323737483940188234279105 1441899583019152272636672167282267075450098142869309319773034900257906 1719992251644995459987362789261989151164893291223357787473622378422474 7678878251772874353764767014654934736724698559589571074878466272606017 7122439946675622576599496686245742682592903541992118592426130454712798 60610533926518058935053628469186036400655674042114376633832,\na[22,20] =.19641088922305465344652650439010041767753909534013553241884870701695 1758108944824122298778763057564650183212868588875450741483102770785318 3856660799563576533111970840810961306881090170885295743808546756475795 5040283754834626928225576179069399309511220249471625365581067126329941 3530572019279131968241179411942295030940690545512664020678511866939162 8783526412914250141848578868252510929448472706221758642115959697571231 9259689483069357132300269849630045648866813744766074421846084916237254 5315629178979301315986170479970244230768015235617646079675050200299374 1692643478374785344013548632784533071188770798085161153096703870830610 3134905033973600730214423993036749867990071581878228317893995280386591 3085601363125374711109705174200625796623316639415075300860868031556047 117687020602027043884199832623824614009478,\na[22,21]=-.98425613049931 5928152900286856048243348202521491288575952143414595272551059124770388 0334123931258998792444907952850484056360270515446564280645859103091196 2300732716851048276169037069753766141374883645381165721448917868383123 9432244639054084211597719906049681751371418132361751997248597883088992 8344699438659798453263253822091732512890668934024609115159264900087067 8508350780811758473544528157017256326357414821988613153945154854236780 0223294794091817375865200852321965206482206319660300073518066721427494 3096345030441218074894503981202091911608050135548809002364199237040142 1548780442128040156956860382777301271597713162472998191313318274235977 1236018876428397950624336593512379733748490697606244693076259285048326 7202098991023108615483409144263156572034691675588332189129583904710350 70723036298952641858052069e-1,\na[23,1]=-.2160493827160493827160493827 1604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938 2716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049 3827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604 9382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716 0493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827 1604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938 2716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049 382716049383,\na[23,2]=.7716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604 9382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716 0493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827 1604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938 2716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049 3827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160 4938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938271 6049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382716049382 7160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493827160493 8271604938271604938271604938271604938271604938271604938271604938,\na[2 3,3]=0.,\na[23,4]=0.,\na[23,5]=-.6666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 667,\na[23,6]=0.,\na[23,7]=-.39069646929597845144699980225849598124909 9665294395945559163111021240728143633984601345402003506580648159519235 4434222194884583060989643739452200952527928894404170029805335607024607 7743572702403994721834477950420880457140958635563813994957260537230498 3145481310809281376978037955042811676587693615149117437719701132335215 1593694287412123811051126494936313297289948234322505551243814136579366 7699170582981189786608049322699839500113621132738350900647264498449243 9986452041839885424495227708494178861632021794447900555451670978313042 6855711044047044573450300829754610601456470574618886680179061311813715 5986908314349826602046273436727996480608141866127902409895632321756917 3726402513784668795803776136773750527271413112375039682121898578040953 937817744098231300094901975498336326938408840191359228245949219886559, \na[23,8]=0.,\na[23,9]=0.,\na[23,10]=0.,\na[23,11]=0.,\na[23,12]=0.,\n a[23,13]=0.,\na[23,14]=0.,\na[23,15]=0.,\na[23,16]=0.,\na[23,17]=0.,\n a[23,18]=0.,\na[23,19]=0.,\na[23,20]=0.,\na[23,21]=.390696469295978451 4469998022584959812490996652943959455591631110212407281436339846013454 0200350658064815951923544342221948845830609896437394522009525279288944 0417002980533560702460777435727024039947218344779504208804571409586355 6381399495726053723049831454813108092813769780379550428116765876936151 4911743771970113233521515936942874121238110511264949363132972899482343 2250555124381413657936676991705829811897866080493226998395001136211327 3835090064726449844924399864520418398854244952277084941788616320217944 4790055545167097831304268557110440470445734503008297546106014564705746 1888668017906131181371559869083143498266020462734367279964806081418661 2790240989563232175691737264025137846687958037761367737505272714131123 7503968212189857804095393781774409823130009490197549833632693840884019 1359228245949219886559,\na[23,22]=.66666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 66667,\na[24,1]=.2,\na[24,2]=0.,\na[24,3]=-.16460905349794238683127572 0164609053497942386831275720164609053497942386831275720164609053497942 3868312757201646090534979423868312757201646090534979423868312757201646 0905349794238683127572016460905349794238683127572016460905349794238683 1275720164609053497942386831275720164609053497942386831275720164609053 4979423868312757201646090534979423868312757201646090534979423868312757 2016460905349794238683127572016460905349794238683127572016460905349794 2386831275720164609053497942386831275720164609053497942386831275720164 6090534979423868312757201646090534979423868312757201646090534979423868 3127572016460905349794238683127572016460905349794238683127572016460905 3497942386831275720164609053497942386831275720164609053497942386831275 7201646090534979423868312757201646090534979423868312757201646090534979 42386831275720,\na[24,4]=0.,\na[24,5]=0.,\na[24,6]=0.,\na[24,7]=0.,\na [24,8]=0.,\na[24,9]=0.,\na[24,10]=0.,\na[24,11]=0.,\na[24,12]=0.,\na[2 4,13]=0.,\na[24,14]=0.,\na[24,15]=0.,\na[24,16]=0.,\na[24,17]=0.,\na[2 4,18]=0.,\na[24,19]=0.,\na[24,20]=0.,\na[24,21]=0.,\na[24,22]=0.,\na[2 4,23]=.164609053497942386831275720164609053497942386831275720164609053 4979423868312757201646090534979423868312757201646090534979423868312757 2016460905349794238683127572016460905349794238683127572016460905349794 2386831275720164609053497942386831275720164609053497942386831275720164 6090534979423868312757201646090534979423868312757201646090534979423868 3127572016460905349794238683127572016460905349794238683127572016460905 3497942386831275720164609053497942386831275720164609053497942386831275 7201646090534979423868312757201646090534979423868312757201646090534979 4238683127572016460905349794238683127572016460905349794238683127572016 4609053497942386831275720164609053497942386831275720164609053497942386 8312757201646090534979423868312757201646090534979423868312757201646090 53497942386831275720164609053497942386831275720,\na[25,1]=1.4717872488 1110408452949550989023611293535315518571691939399550406041883450702641 6303396657725448002844898201534623793696601167492560221157355874275960 8187841705708645472786925586754101176294733567578084294966201726279197 2213435984392915002206144592713905923852092174360055392749051779177685 1260871765956346771282332518411660092049895501279562624677881677698142 8500158163335652665580843299899822122141318443519044215582720716314981 8640706802499465187953864464030815231605606898978743886295085816529139 1199242791245327622669429646947879372189014729667116716103535657516965 7682576713876625986502894036984496647616415359157784839482318658274863 3949434397017617050638097082521212687697836483734520211633088474797949 8060828711408352369920014099729996707384165895573634482950253007327769 30514825657113781558137876024,\na[25,2]=.7875,\na[25,3]=.4212962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 296296296296296296296296296,\na[25,4]=0.,\na[25,5]=.291666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666667,\na[25,6]=0.,\na[25,7]=.34860071762832956320685 4421629657569274689947367847465753756898183498607287352533647294408138 0286744945614193546781956593372557509600015826829912689871422346386871 4765160360455511838809304455837375221196237980006638595118866994555376 5131073135905212879401321267380316684625619626978959263361141904676674 8929085492026101101649930173733586507501308285757915128459775924713320 9135195536059969917348656094848620017795098509145387168744620860906062 5363532167310407483437444254161731529704264599752991072127251515119584 9939034772408248893344938823322031127722149014118395348549046707998659 3661887283776019003454786137857947246008913808584785649920270501946941 7725512604293516872112441365380314660886984928379276798293618222959638 9404007526648952523895201236269485605208981028296806289308495085404229 07211065361635724,\na[25,8]=.22949954476899484958289023371055544707382 3569666506700662509924576129361416779347961508490911709860660598298274 1343643235154684496377792043569294984649241967053873003406634950646992 1130048055650191687574545700170592090028505090488999399782976892132259 0330395392200429521231770307250662161290296512768904754946185736113905 0190515489059083695792308383697809699761801305610115730565211799945426 3333705597421994435744459446684845784962988343342095703569599024473154 2091168244773490696906523611765133193860278266569273096217029657309792 5708630346334770388587960064226094185184125212691534703332318791090348 2373680792112024602106916603944536318824397558509514788322091490615090 5526976717681737256051807447713718024512798385939133405522375627268113 785452705904707889521174430317500876758509256169571474282462059775063, \na[25,9]=5.7904648579048197915983197817700347109827950603672241133319 0319212149462177029006210951637652189045345715225764084820490336616738 1415940758544605757929264511078463068622043490300909660084343487498291 5144452684727442282092505206132851614602501182724893147835112188565877 4743371289845689256078999259342620098745170212290074122793858284183274 9898581803769706952779595306031889421005119533948540975084735787327143 7285962776939828009582211723328380537104508414979967731660525445899701 9316613479596621627280927340270278073689506054026080243688755514839976 2610417235267684626101187590735462765182163352489013431641935439368855 4899259786268359583698856476233052798994333964904438402499868136417574 5154539744913230630640920864880096303877390409064300015708978707139556 706352366362784765903523600602289398652257555556175,\na[25,10]=.418587 5118565068688740737594265962072264614476042481510800164169962235305164 4827453637822257892914820027337658892564207256657729403496809631331254 0369262109681338764673290910495454353108838797287571254512603228336730 9888379166646317200540013799523900094699547067398216130363051038129457 8044913426339315333315917263289080054743970011366926605728440799875703 7278575692562402165485015225480367813456026518609593514524567959478093 0542267883166848925935188716513508575258560593603650358976181919533922 4668947192046971803573699276319100330184435658640893778558218293582497 2535827378678746910264283914600701812789987423694780672891220357926823 8222591232411132350254721306623519967244786894824245557320760576309476 0710360918804174115288204648192672054601257199099052240967540164683736 6657601209465164315801992137262523,\na[25,11]=.30703988022247400264965 3817490106690389251482313213999386651003144559832127458057768635481776 2312012548838882742944576517710535886225616159048108343938910505593474 4939976198659961173210914514272986590699595913807023936920126604545146 1041279391608838472764330451500372771855590888030814613556449160946362 6020559626905221026861928673669748132786658270136469162018886379754888 2022008500398878542381472831253420106557288181455342140279468417458887 6656430965344888402205034516230376224607816454530837182324108691419644 2094269790069668084059296422644341912788241396777686859222523574992678 4724090353909328811983112983354449545876248063301510307918762535575015 4159598256601385355382102255430525078048628775516331625116763172877213 2992279111766376896166646341789834289811262504029286279422580473160415 21938551556109132,\na[25,12]=-4.68700905350603332214256344683853248065 5744157947420404703040830648169300485343958299457462276473170084189426 7528572989772132416841726813037005188796292445840496046453377094497420 4095500955858284667089009104899138212778799670634747919605853360415379 8807366107163599584209624911798222669115891474854491108783210414400054 4593477586788761665861614192485410751033531107261139708294968717479635 7201268109758859411612156527749014760609103598702575330530332353894060 7752794990214853181532342008045791568476174573595167331611646314834781 8602157612065198062101445444516295220988521171004939595005721507560838 7983904607607037105001359477051254487882527364814470045197361064851569 5732110058115783542886238346349216405863454968112136855235393336412167 5405204188159971229803702817687378892700136655874699090512227679441523 2,\na[25,13]=3.1357166559380226215203815239987385655439543619996291542 9090633143007362151307229361090804536784888428884932263142992087285465 6339064379436960409956408422502903602603480333755452167285444324001580 2631181476568211442825478012308511409295504772901218415925491304210733 7476245270043674101537740459128921723489824160232043861212979207887783 3742959257581370570717704468274926890962530990653001780060282744722668 8717948824605820540061527181846632956163323693347554448975336940165726 6252138802808838803566897483041898692131571475718956600842955473023909 9024315172669160555331857963306588793055093365026248699339851939097094 3085807340103415708567928300838718865244237021118835218493469015104316 7761966978048037181258962331844912364833137688990172558662435220819281 318432204186059679338470610628550751121099362714588838,\na[25,14]=1.40 1348297109657208175105062756204410558450173139305083488955470547181175 7867942707695665106894954866802473298184537527792212240793302132341667 6992247442084050771331380472733199420594597956993101806144286348704562 4485711042487684008488499142991221631214089535373146529031811558297970 6152084684215724251319406672418009793999937982547943810184864480535738 5007264675843389543695614630650628137400720600541510877833151934317973 0159787113814648991356404951828857087357947576814272709861319815819447 6417614992086239205717461633171612397263031919962504819213915818854903 3021498144468939752920016911305439584376471792146866057714405725573008 4781959707007203843885761762778334784455162050125811569203518889256550 9256951477154827429012591591432118334221415950677811839450263265665237 4819918096174244656464726354021364972,\na[25,15]=-5.529311014394990236 2901030600576433642127605577765815640090758234778501411795202370197688 2833329949538741892629057611401836617784154452333034612096880404114502 9530358070349102788084704928871700408472317892468073203325662193455430 9443052580960846393780073227226723896936247954853583999586801829082507 4262629841457296221032703699220040513692149904467332556571508398659295 5279394136666938194385813669937878219852012836475148049827670206966514 6040584083816583239653796352257441740734453580077507266299175429871627 4943449820537172525148199445056137773475473767421715603463703904758249 7305145360498851338563750292599644169424405931545678077560651109112875 3851223884254717295383071469606365308376709798730769610415714557886819 2792113798646331378184150162947250662086531158436272465645924825184958 023973707266399582415,\na[25,16]=-.85313823550806334930954689497478490 6188927508039552519557497604337233824038757153643694196933177878465406 5573952973934324133360444342772037102588925582451440055267142238113682 1963545367859824074721279023521362154935775081899924486952157060375855 3836498456802585198653460459031214097953801096910898564054244717835149 2533010101910639530331073099443021873491880977434397614653874763760652 5005081673379632796032602045416485618749764969381871749364708421827656 4848748959271635791120710634718368691615497149370691955320371997271600 4154096531608396773691135250424221921521226091018027212007263483914469 6958725341374740902400611393298131315479374567864124174250293817322902 6714758469746847616048286848846575792657450878545663174460420172354180 6014505350615462159007549989624463598634066839241709503236923872134272 66893,\na[25,17]=.1035757803736101404118046071677727955182939144585001 7557374851647284658627908275904238591452301226307666112149819633966703 8393042969413456302186135223687393352763961915938414942007722639972498 9040651527284238331292449126339742920904402415006867042820957033536271 3403758707406875435217639468007345194253170394566948885550156061519814 8903614432184466468056785679771489742868337356711099678548854439558996 7743604158743443461550662465164061603202401701818933651336303461003567 6962607325153242145826037250792870085617825856587288483356200397173328 1414651027174183109273663465532677735934158340388651731280672488785160 0359637380730571223292316118426374033392111304614326013151510032983473 8781162493939842566359613067774194322214213229866044287808384699553592 3264830588252841762479170484756367329418642090357045554695,\na[25,18]= -.14047441695060094114254690120213253487066592370003495719654575931332 1406280102510641488499060975747665677210959115663142859906353811247821 4777581413989742094877995441382137510978166427579560110849489453915612 4475029746864245282252738705543909202799651580346719144471420630213039 5348724334579494935925629152790638244696681863487088691090603647354186 0235191366204913995581924514158561298210106599551555714834130860109483 9416215463461389679020812713034092863576948796128670968595897283745636 5439342658639617630805255112539698052065103595535238623649139332625125 2635611807938823939159093163435428589697929354440495166756356565774331 8192452607773109354026715424525500761032706554445043113774947885714471 6149615440683506068239039619654274931266679826294782593891928934925555 344395233172781988878528665941587528280553,\na[25,19]=-.41858751185650 6868874073759426596207226461447604248151080016416996223530516448274536 3782225789291482002733765889256420725665772940349680963133125403692621 0968133876467329091049545435310883879728757125451260322833673098883791 6664631720054001379952390009469954706739821613036305103812945780449134 2633931533331591726328908005474397001136692660572844079987570372785756 9256240216548501522548036781345602651860959351452456795947809305422678 8316684892593518871651350857525856059360365035897618191953392246689471 9204697180357369927631910033018443565864089377855821829358249725358273 7867874691026428391460070181278998742369478067289122035792682382225912 3241113235025472130662351996724478689482424555732076057630947607103609 1880417411528820464819267205460125719909905224096754016468373666576012 09465164315801992137262523,\na[25,20]=-.229499544768994849582890233710 5554470738235696665067006625099245761293614167793479615084909117098606 6059829827413436432351546844963777920435692949846492419670538730034066 3495064699211300480556501916875745457001705920900285050904889993997829 7689213225903303953922004295212317703072506621612902965127689047549461 8573611390501905154890590836957923083836978096997618013056101157305652 1179994542633337055974219944357444594466848457849629883433420957035695 9902447315420911682447734906969065236117651331938602782665692730962170 2965730979257086303463347703885879600642260941851841252126915347033323 1879109034823736807921120246021069166039445363188243975585095147883220 9149061509055269767176817372560518074477137180245127983859391334055223 7562726811378545270590470788952117443031750087675850925616957147428246 2059775063,\na[25,21]=-.3486007176283295632068544216296575692746899473 6784746575375689818349860728735253364729440813802867449456141935467819 5659337255750960001582682991268987142234638687147651603604555118388093 0445583737522119623798000663859511886699455537651310731359052128794013 2126738031668462561962697895926336114190467667489290854920261011016499 3017373358650750130828575791512845977592471332091351955360599699173486 5609484862001779509850914538716874462086090606253635321673104074834374 4425416173152970426459975299107212725151511958499390347724082488933449 3882332203112772214901411839534854904670799865936618872837760190034547 8613785794724600891380858478564992027050194694177255126042935168721124 4136538031466088698492837927679829361822295963894040075266489525238952 0123626948560520898102829680628930849508540422907211065361635724,\na[2 5,22]=-.29166666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 666666666666666666666666666666666666666666666667,\na[25,23]=-.42129629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 9629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629629 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296296 2962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962962 96296296296296296296296296296296,\na[25,24]=-.7875,\na[26,1]=1.4717872 4881110408452949550989023611293535315518571691939399550406041883450702 6416303396657725448002844898201534623793696601167492560221157355874275 9608187841705708645472786925586754101176294733567578084294966201726279 1972213435984392915002206144592713905923852092174360055392749051779177 6851260871765956346771282332518411660092049895501279562624677881677698 1428500158163335652665580843299899822122141318443519044215582720716314 9818640706802499465187953864464030815231605606898978743886295085816529 1391199242791245327622669429646947879372189014729667116716103535657516 9657682576713876625986502894036984496647616415359157784839482318658274 8633949434397017617050638097082521212687697836483734520211633088474797 9498060828711408352369920014099729996707384165895573634482950253007327 76930514825657113781558137876024,\na[26,2]=0.,\na[26,3]=.5833333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 333333333333333333333333333,\na[26,4]=0.,\na[26,5]=.291666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666667,\na[26,6]=0.,\na[26,7]=.34860071762832956320685 4421629657569274689947367847465753756898183498607287352533647294408138 0286744945614193546781956593372557509600015826829912689871422346386871 4765160360455511838809304455837375221196237980006638595118866994555376 5131073135905212879401321267380316684625619626978959263361141904676674 8929085492026101101649930173733586507501308285757915128459775924713320 9135195536059969917348656094848620017795098509145387168744620860906062 5363532167310407483437444254161731529704264599752991072127251515119584 9939034772408248893344938823322031127722149014118395348549046707998659 3661887283776019003454786137857947246008913808584785649920270501946941 7725512604293516872112441365380314660886984928379276798293618222959638 9404007526648952523895201236269485605208981028296806289308495085404229 07211065361635724,\na[26,8]=.22949954476899484958289023371055544707382 3569666506700662509924576129361416779347961508490911709860660598298274 1343643235154684496377792043569294984649241967053873003406634950646992 1130048055650191687574545700170592090028505090488999399782976892132259 0330395392200429521231770307250662161290296512768904754946185736113905 0190515489059083695792308383697809699761801305610115730565211799945426 3333705597421994435744459446684845784962988343342095703569599024473154 2091168244773490696906523611765133193860278266569273096217029657309792 5708630346334770388587960064226094185184125212691534703332318791090348 2373680792112024602106916603944536318824397558509514788322091490615090 5526976717681737256051807447713718024512798385939133405522375627268113 785452705904707889521174430317500876758509256169571474282462059775063, \na[26,9]=5.7904648579048197915983197817700347109827950603672241133319 0319212149462177029006210951637652189045345715225764084820490336616738 1415940758544605757929264511078463068622043490300909660084343487498291 5144452684727442282092505206132851614602501182724893147835112188565877 4743371289845689256078999259342620098745170212290074122793858284183274 9898581803769706952779595306031889421005119533948540975084735787327143 7285962776939828009582211723328380537104508414979967731660525445899701 9316613479596621627280927340270278073689506054026080243688755514839976 2610417235267684626101187590735462765182163352489013431641935439368855 4899259786268359583698856476233052798994333964904438402499868136417574 5154539744913230630640920864880096303877390409064300015708978707139556 706352366362784765903523600602289398652257555556175,\na[26,10]=.418587 5118565068688740737594265962072264614476042481510800164169962235305164 4827453637822257892914820027337658892564207256657729403496809631331254 0369262109681338764673290910495454353108838797287571254512603228336730 9888379166646317200540013799523900094699547067398216130363051038129457 8044913426339315333315917263289080054743970011366926605728440799875703 7278575692562402165485015225480367813456026518609593514524567959478093 0542267883166848925935188716513508575258560593603650358976181919533922 4668947192046971803573699276319100330184435658640893778558218293582497 2535827378678746910264283914600701812789987423694780672891220357926823 8222591232411132350254721306623519967244786894824245557320760576309476 0710360918804174115288204648192672054601257199099052240967540164683736 6657601209465164315801992137262523,\na[26,11]=.30703988022247400264965 3817490106690389251482313213999386651003144559832127458057768635481776 2312012548838882742944576517710535886225616159048108343938910505593474 4939976198659961173210914514272986590699595913807023936920126604545146 1041279391608838472764330451500372771855590888030814613556449160946362 6020559626905221026861928673669748132786658270136469162018886379754888 2022008500398878542381472831253420106557288181455342140279468417458887 6656430965344888402205034516230376224607816454530837182324108691419644 2094269790069668084059296422644341912788241396777686859222523574992678 4724090353909328811983112983354449545876248063301510307918762535575015 4159598256601385355382102255430525078048628775516331625116763172877213 2992279111766376896166646341789834289811262504029286279422580473160415 21938551556109132,\na[26,12]=-4.68700905350603332214256344683853248065 5744157947420404703040830648169300485343958299457462276473170084189426 7528572989772132416841726813037005188796292445840496046453377094497420 4095500955858284667089009104899138212778799670634747919605853360415379 8807366107163599584209624911798222669115891474854491108783210414400054 4593477586788761665861614192485410751033531107261139708294968717479635 7201268109758859411612156527749014760609103598702575330530332353894060 7752794990214853181532342008045791568476174573595167331611646314834781 8602157612065198062101445444516295220988521171004939595005721507560838 7983904607607037105001359477051254487882527364814470045197361064851569 5732110058115783542886238346349216405863454968112136855235393336412167 5405204188159971229803702817687378892700136655874699090512227679441523 2,\na[26,13]=3.1357166559380226215203815239987385655439543619996291542 9090633143007362151307229361090804536784888428884932263142992087285465 6339064379436960409956408422502903602603480333755452167285444324001580 2631181476568211442825478012308511409295504772901218415925491304210733 7476245270043674101537740459128921723489824160232043861212979207887783 3742959257581370570717704468274926890962530990653001780060282744722668 8717948824605820540061527181846632956163323693347554448975336940165726 6252138802808838803566897483041898692131571475718956600842955473023909 9024315172669160555331857963306588793055093365026248699339851939097094 3085807340103415708567928300838718865244237021118835218493469015104316 7761966978048037181258962331844912364833137688990172558662435220819281 318432204186059679338470610628550751121099362714588838,\na[26,14]=1.40 1348297109657208175105062756204410558450173139305083488955470547181175 7867942707695665106894954866802473298184537527792212240793302132341667 6992247442084050771331380472733199420594597956993101806144286348704562 4485711042487684008488499142991221631214089535373146529031811558297970 6152084684215724251319406672418009793999937982547943810184864480535738 5007264675843389543695614630650628137400720600541510877833151934317973 0159787113814648991356404951828857087357947576814272709861319815819447 6417614992086239205717461633171612397263031919962504819213915818854903 3021498144468939752920016911305439584376471792146866057714405725573008 4781959707007203843885761762778334784455162050125811569203518889256550 9256951477154827429012591591432118334221415950677811839450263265665237 4819918096174244656464726354021364972,\na[26,15]=-5.529311014394990236 2901030600576433642127605577765815640090758234778501411795202370197688 2833329949538741892629057611401836617784154452333034612096880404114502 9530358070349102788084704928871700408472317892468073203325662193455430 9443052580960846393780073227226723896936247954853583999586801829082507 4262629841457296221032703699220040513692149904467332556571508398659295 5279394136666938194385813669937878219852012836475148049827670206966514 6040584083816583239653796352257441740734453580077507266299175429871627 4943449820537172525148199445056137773475473767421715603463703904758249 7305145360498851338563750292599644169424405931545678077560651109112875 3851223884254717295383071469606365308376709798730769610415714557886819 2792113798646331378184150162947250662086531158436272465645924825184958 023973707266399582415,\na[26,16]=-.85313823550806334930954689497478490 6188927508039552519557497604337233824038757153643694196933177878465406 5573952973934324133360444342772037102588925582451440055267142238113682 1963545367859824074721279023521362154935775081899924486952157060375855 3836498456802585198653460459031214097953801096910898564054244717835149 2533010101910639530331073099443021873491880977434397614653874763760652 5005081673379632796032602045416485618749764969381871749364708421827656 4848748959271635791120710634718368691615497149370691955320371997271600 4154096531608396773691135250424221921521226091018027212007263483914469 6958725341374740902400611393298131315479374567864124174250293817322902 6714758469746847616048286848846575792657450878545663174460420172354180 6014505350615462159007549989624463598634066839241709503236923872134272 66893,\na[26,17]=.1035757803736101404118046071677727955182939144585001 7557374851647284658627908275904238591452301226307666112149819633966703 8393042969413456302186135223687393352763961915938414942007722639972498 9040651527284238331292449126339742920904402415006867042820957033536271 3403758707406875435217639468007345194253170394566948885550156061519814 8903614432184466468056785679771489742868337356711099678548854439558996 7743604158743443461550662465164061603202401701818933651336303461003567 6962607325153242145826037250792870085617825856587288483356200397173328 1414651027174183109273663465532677735934158340388651731280672488785160 0359637380730571223292316118426374033392111304614326013151510032983473 8781162493939842566359613067774194322214213229866044287808384699553592 3264830588252841762479170484756367329418642090357045554695,\na[26,18]= -.14047441695060094114254690120213253487066592370003495719654575931332 1406280102510641488499060975747665677210959115663142859906353811247821 4777581413989742094877995441382137510978166427579560110849489453915612 4475029746864245282252738705543909202799651580346719144471420630213039 5348724334579494935925629152790638244696681863487088691090603647354186 0235191366204913995581924514158561298210106599551555714834130860109483 9416215463461389679020812713034092863576948796128670968595897283745636 5439342658639617630805255112539698052065103595535238623649139332625125 2635611807938823939159093163435428589697929354440495166756356565774331 8192452607773109354026715424525500761032706554445043113774947885714471 6149615440683506068239039619654274931266679826294782593891928934925555 344395233172781988878528665941587528280553,\na[26,19]=-.41858751185650 6868874073759426596207226461447604248151080016416996223530516448274536 3782225789291482002733765889256420725665772940349680963133125403692621 0968133876467329091049545435310883879728757125451260322833673098883791 6664631720054001379952390009469954706739821613036305103812945780449134 2633931533331591726328908005474397001136692660572844079987570372785756 9256240216548501522548036781345602651860959351452456795947809305422678 8316684892593518871651350857525856059360365035897618191953392246689471 9204697180357369927631910033018443565864089377855821829358249725358273 7867874691026428391460070181278998742369478067289122035792682382225912 3241113235025472130662351996724478689482424555732076057630947607103609 1880417411528820464819267205460125719909905224096754016468373666576012 09465164315801992137262523,\na[26,20]=-.229499544768994849582890233710 5554470738235696665067006625099245761293614167793479615084909117098606 6059829827413436432351546844963777920435692949846492419670538730034066 3495064699211300480556501916875745457001705920900285050904889993997829 7689213225903303953922004295212317703072506621612902965127689047549461 8573611390501905154890590836957923083836978096997618013056101157305652 1179994542633337055974219944357444594466848457849629883433420957035695 9902447315420911682447734906969065236117651331938602782665692730962170 2965730979257086303463347703885879600642260941851841252126915347033323 1879109034823736807921120246021069166039445363188243975585095147883220 9149061509055269767176817372560518074477137180245127983859391334055223 7562726811378545270590470788952117443031750087675850925616957147428246 2059775063,\na[26,21]=-.3486007176283295632068544216296575692746899473 6784746575375689818349860728735253364729440813802867449456141935467819 5659337255750960001582682991268987142234638687147651603604555118388093 0445583737522119623798000663859511886699455537651310731359052128794013 2126738031668462561962697895926336114190467667489290854920261011016499 3017373358650750130828575791512845977592471332091351955360599699173486 5609484862001779509850914538716874462086090606253635321673104074834374 4425416173152970426459975299107212725151511958499390347724082488933449 3882332203112772214901411839534854904670799865936618872837760190034547 8613785794724600891380858478564992027050194694177255126042935168721124 4136538031466088698492837927679829361822295963894040075266489525238952 0123626948560520898102829680628930849508540422907211065361635724,\na[2 6,22]=-.29166666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 666666666666666666666666666666666666666666666667,\na[26,23]=-.58333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333333333333333333333333333,\na[26,24]=0.,\na[26,25]=0.,\n\nb[1]= .238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 38095238095238095238095238095238095238095e-1,\nb[2]=.234375e-1,\nb[3]= .3125e-1,\nb[4]=0.,\nb[5]=.4166666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666667e-1 ,\nb[6]=0.,\nb[7]=.5e-1,\nb[8]=.5e-1,\nb[9]=0.,\nb[10]=.1,\nb[11]=.714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714286e-1,\nb[12]=0., b[13]=.1384130236 8078297400535020314503314674881364008994123459126711948172231193777306 6807664269088556121963694120788533360672725247452751220646700343939681 6451077464553092327222070443036618305682499314843929725765177652111230 1625849467258821085734398345451668041645205639413835136475082312833345 9323605259853589841842749659312761869952712818249387006911809025686236 7943012831670413138470095538684098372764758307710658990566657312303777 1812950469114150177758484750034828683501059624660708474025547251950536 6522427534985270795675213646004990868608590654582031912821507960581353 9103943362021352217235596339306766427796104258444233104684065269441835 1160628470679257209344607861590155652499403410260009756050703783737404 8371533143402930714158521510985207144468282803206034018166555628734464 367559769568517340527182568827,\nb[14]=.215872690604931311708935511140 6811389654720741957730511230185948039919737765126474780500166257295923 2202016492575235361298903826153449363901394177460406917796783040505299 2078669982052455146035782801321313137767949074591269455791041697503428 3703022597690338692622293201473629209634625859522549621090258606958724 4296462640152384433300146746489870737390526002804891998443111867297186 7276160417304448437809883514648386657619983055336567584781023144212508 1294382139374274507036894676786295454588131947803477632867507290149186 1050063970929484567712363113225380146420632513293180389137808357906399 0726080355037642934675288441290975245879187341530774108001007493142192 2682070983841577607202516116856167252072478769116659141811423113550001 2719277472907856981743148250825169611915865697982134672594471719694518 7103145459,\nb[15]=.24380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 523809523809523809523809523809523809523809523809523809523810,\nb[16]=. 2158726906049313117089355111406811389654720741957730511230185948039919 7377651264747805001662572959232202016492575235361298903826153449363901 3941774604069177967830405052992078669982052455146035782801321313137767 9490745912694557910416975034283703022597690338692622293201473629209634 6258595225496210902586069587244296462640152384433300146746489870737390 5260028048919984431118672971867276160417304448437809883514648386657619 9830553365675847810231442125081294382139374274507036894676786295454588 1319478034776328675072901491861050063970929484567712363113225380146420 6325132931803891378083579063990726080355037642934675288441290975245879 1873415307741080010074931421922682070983841577607202516116856167252072 4787691166591418114231135500012719277472907856981743148250825169611915 8656979821346725944717196945187103145459,\nb[17]=.13841302368078297400 5350203145033146748813640089941234591267119481722311937773066807664269 0885561219636941207885333606727252474527512206467003439396816451077464 5530923272220704430366183056824993148439297257651776521112301625849467 2588210857343983454516680416452056394138351364750823128333459323605259 8535898418427496593127618699527128182493870069118090256862367943012831 6704131384700955386840983727647583077106589905666573123037771812950469 1141501777584847500348286835010596246607084740255472519505366522427534 9852707956752136460049908686085906545820319128215079605813539103943362 0213522172355963393067664277961042584442331046840652694418351160628470 6792572093446078615901556524994034102600097560507037837374048371533143 4029307141585215109852071444682828032060340181665556287344643675597695 68517340527182568827,\nb[18]=-.714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714 2857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857 1428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428 6e-1,\nb[19]=-.1,\nb[20]=-.5e-1,\nb[21]=-.5e-1,\nb[22]=-.4166666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 666666666666666666666666667e-1,\nb[23]=-.3125e-1,\nb[24]=-.234375e-1, \nb[25]=.2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095e-1, b[26]=0.,\n\n`b* `[1]=.2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095e-1,\n`b*`[2]=0.,\n`b*`[ 3]=.3125e-1,\n`b*`[4]=0.,\n`b*`[5]=.4166666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 666667e-1,\n`b*`[6]=0.,\n`b*`[7]=.5e-1,\n`b*`[8]=.5e-1,\n`b*`[9]=0.,\n `b*`[10]=.1,\n`b*`[11]=.7142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714286e-1,\n `b*`[12]=0.,\n`b*`[13]=.1384130236807829740053502031450331467488136400 8994123459126711948172231193777306680766426908855612196369412078853336 0672725247452751220646700343939681645107746455309232722207044303661830 5682499314843929725765177652111230162584946725882108573439834545166804 1645205639413835136475082312833345932360525985358984184274965931276186 9952712818249387006911809025686236794301283167041313847009553868409837 2764758307710658990566657312303777181295046911415017775848475003482868 3501059624660708474025547251950536652242753498527079567521364600499086 8608590654582031912821507960581353910394336202135221723559633930676642 7796104258444233104684065269441835116062847067925720934460786159015565 2499403410260009756050703783737404837153314340293071415852151098520714 4468282803206034018166555628734464367559769568517340527182568827,\n`b* `[14]=.215872690604931311708935511140681138965472074195773051123018594 8039919737765126474780500166257295923220201649257523536129890382615344 9363901394177460406917796783040505299207866998205245514603578280132131 3137767949074591269455791041697503428370302259769033869262229320147362 9209634625859522549621090258606958724429646264015238443330014674648987 0737390526002804891998443111867297186727616041730444843780988351464838 6657619983055336567584781023144212508129438213937427450703689467678629 5454588131947803477632867507290149186105006397092948456771236311322538 0146420632513293180389137808357906399072608035503764293467528844129097 5245879187341530774108001007493142192268207098384157760720251611685616 7252072478769116659141811423113550001271927747290785698174314825082516 96119158656979821346725944717196945187103145459,\n`b*`[15]=.2438095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 5238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238 0952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952 3809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809 523809523809523809523809523810,\n`b*`[16]=.215872690604931311708935511 1406811389654720741957730511230185948039919737765126474780500166257295 9232202016492575235361298903826153449363901394177460406917796783040505 2992078669982052455146035782801321313137767949074591269455791041697503 4283703022597690338692622293201473629209634625859522549621090258606958 7244296462640152384433300146746489870737390526002804891998443111867297 1867276160417304448437809883514648386657619983055336567584781023144212 5081294382139374274507036894676786295454588131947803477632867507290149 1861050063970929484567712363113225380146420632513293180389137808357906 3990726080355037642934675288441290975245879187341530774108001007493142 1922682070983841577607202516116856167252072478769116659141811423113550 0012719277472907856981743148250825169611915865697982134672594471719694 5187103145459,\n`b*`[17]=.13841302368078297400535020314503314674881364 0089941234591267119481722311937773066807664269088556121963694120788533 3606727252474527512206467003439396816451077464553092327222070443036618 3056824993148439297257651776521112301625849467258821085734398345451668 0416452056394138351364750823128333459323605259853589841842749659312761 8699527128182493870069118090256862367943012831670413138470095538684098 3727647583077106589905666573123037771812950469114150177758484750034828 6835010596246607084740255472519505366522427534985270795675213646004990 8686085906545820319128215079605813539103943362021352217235596339306766 4277961042584442331046840652694418351160628470679257209344607861590155 6524994034102600097560507037837374048371533143402930714158521510985207 144468282803206034018166555628734464367559769568517340527182568827,\n` b*`[18]=-.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 8571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 7142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142857142 85714285714285714285714285714285714285714285714286e-1,\n`b*`[19]=-.1, \n`b*`[20]=-.5e-1,\n`b*`[21]=-.5e-1,\n`b*`[22]=-.416666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 6666666666666666667e-1,\n`b*`[23]=-.3125e-1,\n`b*`[24]=0.,\n`b*`[25]=0 .,\n`b*`[26]=.23809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 2380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 9523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523809523 8095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095238095 238095238095238095238095238095238095238095238095238095e-1\}:" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "RK12_25 := OrderConditions(12,25):\nnops(%);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"%8y" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "nops(OrderConditions(11) );\n7813-%;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"%ZI" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"%mZ" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Digits := 810:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "RK12 := Orde rConditions(12):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The procedure " }{TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" }{TEXT -1 128 " converts an order condition given in abreviated form into an \+ expression involving matrices which evaluates the order condition." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "It is necessary to set up appropriate mat rices in order to use this procedure." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 161 "A := Matrix([seq([seq(a [i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..25)],i=1..25)]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i= 1..25)]]):\nC := LinearAlgebra[DiagonalMatrix]([0,seq(c[i],i=2..25)]): " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "A_ := subs(ee,A): B_ := subs(ee,B): C_ := subs(ee,C) :" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#-- --------------------------------------------------------------" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Evaluating using matrix multiplication i s more efficient when the number of nested summations becomes large." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 130 "The following example is an extreme ca se involving the order 12 order condition which has the largest number of nested summations." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 102 "st := time():\nRK12_25[3048];\nsub s(Sum=add,%):\nsubs(`union`(\{c[1]=0.\},ee),%):\nlhs(%)-rhs(%);\ntime( )-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\" \"-F%6$*&&%\"aG6$F+%\"jGF,-F%6$*&&F16$F3%\"kGF,-F%6$*&&F16$F9%\"lGF,-F %6$*&&F16$F?%\"mGF,-F%6$*&&F16$FE%\"nGF,-F%6$*&&F16$FK%\"pGF,-F%6$*&&F 16$FQ%\"qGF,-F%6$*&&F16$FW%\"rGF,-F%6$*&&F16$Fgn%\"sGF,-F%6$*&&F16$F]o %\"tGF,&%\"cG6#FcoF,/Fco;F,,&F]oF,F,!\"\"F,/F]o;F,,&FgnF,F,FjoF,/Fgn;F ,,&FWF,F,FjoF,/FW;F,,&FQF,F,FjoF,/FQ;F,,&FKF,F,FjoF,/FK;F,,&FEF,F,FjoF ,/FE;F,,&F?F,F,FjoF,/F?;F,,&F9F,F,FjoF,/F9;F,,&F3F,F,FjoF,/F3;F,,&F+F, F,FjoF,/F+;F,\"#D#F,\"*+;+z%" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"%W= !$=)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&\"Re!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 96 "st := tim e():\nRK12[3048];\nconvert(%,'Matrix_form',A_,B_,C_):\nvalue(%):\nlhs( %)-rhs(%);\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/*&%\"bG\"\" \"-%!G6#*&%\"aGF&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+ F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&%\"cGF&F&F&F&F&F&F&F&F&F &F&#F&\"*+;+z%" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$!$c)!$=)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"%m7!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#------------------------------------ ----------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 220 "The foll owing calculations compare the times required by the two different met hods in different regions in the list of order 12 order conditions in \+ an effort to determine when it is advantageous to use the matrix metho d." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 232 "st := time():\nee_ := `union`(\{c[1]=0.\},ee): ind : = []:\nfor ct from 7701 to 7800 do\n dd := subs(Sum=add,RK12_25[ct]) :\n zr := subs(ee_,dd);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr) )<10^(10-Digits),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&%f9!\"$" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "st := time():\nind := []:\nfor ct from 7701 to 7800 do\n zr := \+ convert(RK12[ct],'Matrix_form',A_,B_,C_);\n ind := [op(ind),`if`(abs (lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }} {PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&`% R!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#----------------------------------------------------------------" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 232 "st := time():\nee_ := `union`(\{c[1]=0.\},ee): ind := []:\nfor ct from 6001 to 6100 do\n dd := subs(Sum=add,RK12_25[ct]):\n zr := s ubs(ee_,dd);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digi ts),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&p**)!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "st := time( ):\nind := []:\nfor ct from 6001 to 6100 do\n zr := convert(RK12[ct] ,'Matrix_form',A_,B_,C_);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr) )<10^(10-Digits),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&19*!\"$" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#-------- --------------------------------------------------------" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 232 "st : = time():\nee_ := `union`(\{c[1]=0.\},ee): ind := []:\nfor ct from 550 1 to 5600 do\n dd := subs(Sum=add,RK12_25[ct]):\n zr := subs(ee_,d d);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits),0,1)] ;\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7`q\" \"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"'qW5!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "st := time():\nin d := []:\nfor ct from 5501 to 5600 do\n zr := convert(RK12[ct],'Matr ix_form',A_,B_,C_);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^( 10-Digits),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"'?U5!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#-------------- --------------------------------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 232 "st := time( ):\nee_ := `union`(\{c[1]=0.\},ee): ind := []:\nfor ct from 5001 to 51 00 do\n dd := subs(Sum=add,RK12_25[ct]):\n zr := subs(ee_,dd);\n \+ ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits),0,1)];\nend \+ do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7`q\"\"!F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"'x:8!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "st := time():\nind := []:\n for ct from 5001 to 5100 do\n zr := convert(RK12[ct],'Matrix_form',A _,B_,C_);\n ind := [op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits) ,0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6# 7`q\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$ F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&)o')!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#------------------------ ----------------------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 232 "st := time():\nee_ : = `union`(\{c[1]=0.\},ee): ind := []:\nfor ct from 3148 to 3200 do\n \+ dd := subs(Sum=add,RK12_25[ct]):\n zr := subs(ee_,dd);\n ind := [ op(ind),`if`(abs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits),0,1)];\nend do:\nind; \ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7W\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"'i]A!\"$" }} }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 194 "st := time():\nind := []:\nfor ct from 3148 to 3200 do\n zr : = convert(RK12[ct],'Matrix_form',A_,B_,C_);\n ind := [op(ind),`if`(a bs(lhs(zr)-rhs(zr))<10^(10-Digits),0,1)];\nend do:\nind;\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7W\"\"!F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F$F $F$F$" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&i![!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#--------------------- -------------------------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#--------------------------------------------------- ----------------------------------" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Examples involving order 12 principal error terms" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "Digit s := 40:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 56 "published c oefficients of Terry Feagin's order 12 scheme" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25245 "ee := \{c [2]=0.200000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\nc [3]=0.555555555555555555555555555555555555555555555555555555555556,\nc [4]=0.833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\nc [5]=0.333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\nc [6]=1.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\nc[ 7]=0.671835709170513812712245661002797570438953420568682550710222,\nc[ 8]=0.288724941110620201935458488967024976908118598341806976469674,\nc[ 9]=0.562500000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\nc[ 10]=0.833333333333333333333333333333333333333333333333333333333333,\nc [11]=0.947695431179199287562380162101836721649589325892740646458322,\n c[12]=0.0548112876863802643887753674810754475842153612931128785028369, \nc[13]=0.084888051860716535063983893016267430206414817564001954204593 4,\nc[14]=0.2655756032646428930981140590456168352972012641640776214486 65,\nc[15]=0.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000,\nc[16]=0.73442439673535710690188594095438316470279873583592237855 1335,\nc[17]=0.9151119481392834649360161069837325697935851824359980457 95407,\nc[18]=0.947695431179199287562380162101836721649589325892740646 458322,\nc[19]=0.83333333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333,\nc[20]=0.2887249411106202019354584889670249769081185983418069 76469674,\nc[21]=0.671835709170513812712245661002797570438953420568682 550710222,\nc[22]=0.33333333333333333333333333333333333333333333333333 3333333333,\nc[23]=0.5555555555555555555555555555555555555555555555555 55555555556,\nc[24]=0.200000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000,\nc[25]=1.00000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000, \n\na[2,1]=0.200000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000,\na[3,1]=-0.216049382716049382716049382716049382716 049382716049382716049,\na[3,2]=0.7716049382716049382716049382716049382 71604938271604938271605,\na[4,1]=0.20833333333333333333333333333333333 3333333333333333333333333,\na[4,2]=0.000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000,\na[4,3]=0.6250000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000,\na[5,1]=0.19333333333333333333333333333 3333333333333333333333333333333,\na[5,2]=0.000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000,\na[5,3]=0.2200000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000,\na[5,4]=-0.0800000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000,\na[6,1]=0.1000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000,\na[6,2]=0.00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000,\na[6,3]=0.000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000,\na[6,4]=0.4000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000,\na[6,5]=0.50000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[7,1]=0.103364471 650010477570395435690481791543342708330349879244197,\na[7,2]=0.0000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[7,3]=0.00000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[7,4]=0.124 053094528946761061581889237115328211074784955180298044074,\na[7,5]=0.4 83171167561032899288836480451962508724109257517289177302380,\na[7,6]=- 0.0387530245694763252085681443767620580395733302341368038804290,\na[8, 1]=0.124038261431833324081904585980175168140024670698633612292480,\na[ 8,2]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\n a[8,3]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \na[8,4]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0,\na[8,5]=0.217050632197958486317846256953159942875916353757734167684 657,\na[8,6]=0.0137455792075966759812907801835048190594443990939408530 842918,\na[8,7]=-0.066109531726768284445583134149814953167266825208501 6565917546,\na[9,1]=0.091477489485688298314499184698043219708883209997 6660100090486,\na[9,2]=0.000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000,\na[9,3]=0.0000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000,\na[9,4]=0.00000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000,\na[9,5]=0.000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000,\na[9,6]=-0.005443485237174696899657549441448386 11346156873847009178068318,\na[9,7]=0.06807168016884535185785151208951 03863112751730758794372203952,\na[9,8]=0.40839431558264104672730685265 3894780093303185664924644551239,\na[10,1]=0.08900136525025510189545093 55423841780143232697403434118692699,\na[10,2]=0.0000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000,\na[10,3]=0.0000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000,\na[10,4]=0.0000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000,\na[10,5]=0.0000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000,\na[10,6]=0.0049952822 6645532360197793408420692800405891149406814091955810,\na[10,7]=0.39791 8238819828997341739603001347156083435060931424970826304,\na[10,8]=0.42 7930210752576611068192608300897981558240730580396406312359,\na[10,9]=- 0.0865117637557827005740277475955029103267246394128995965941585,\na[11 ,1]=0.0695087624134907543112693906409809822706021061685544615255758,\n a[11,2]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ,\na[11,3]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000,\na[11,4]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000,\na[11,5]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000,\na[11,6]=0.129146941900176461970759579482746551122871751501 482634045487,\na[11,7]=1.530736381023112950763425661432149390311775041 12433874313011,\na[11,8]=0.5778747611291400525467513494545767153348921 00418571882718036,\na[11,9]=-0.951294772321088980532340837388859453930 924498799228648050949,\na[11,10]=-0.4082766429656319514974849815197574 63459627174520978426909934,\na[12,1]=0.0444861403295135866269453507092 463581620165501018684152933313,\na[12,2]=0.000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000,\na[12,3]=0.000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000,\na[12,4]=0.000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000,\na[12,5]=0.000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000,\na[12,6]=-0.00380476867056 961731984232686574547203016331563626856065717964,\na[12,7]=0.010695506 4029624200721262602809059154469206077644957399593972,\na[12,8]=0.02096 16244499904333296674205928919920806734650660039898074652,\na[12,9]=-0. 0233146023259321786648561431551978077665337818756053603898847,\na[12,1 0]=0.00263265981064536974369934736325334761174975280887405725010964,\n a[12,11]=0.00315472768977025060103545855572111407955208306374459723959 783,\na[13,1]=0.019458881511975547558880109652531776124207376201627318 6231215,\na[13,2]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000,\na[13,3]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000,\na[13,4]=0.00000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000,\na[13,5]=0.00000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000,\na[13,6]=0.00000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000,\na[13,7]=0.00000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000,\na[13,8]=0.00000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000,\na[13,9]=0.00006785129491718125093061216 53452367476194364781259165332321534,\na[13,10]=-0.00004297958590492736 23271005330230162343568863387724883603675550,\na[13,11]=0.000017635898 2260285155407485928953302139937553442829975734148981,\na[13,12]=0.0653 866627415027051009595231385181033549511358787382098351924,\na[14,1]=0. 206836835664277105916828174798272361078909196043446411598231,\na[14,2] =0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[14 ,3]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na [14,4]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \na[14,5]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00,\na[14,6]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000,\na[14,7]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000,\na[14,8]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000,\na[14,9]=0.0166796067104156472828045866664696450306326505 094792505215514,\na[14,10]=-0.0087950156320071021445702417824998659113 0234990219959208704979,\na[14,11]=0.0034667545536246391082446231524637 9209427513654098596403637231,\na[14,12]=-0.861264460105717678161432562 258351242030270498966891201799225,\na[14,13]=0.90865188207405028109623 9478469262145034957129939256789178785,\na[15,1]=0.02039260846544840100 91511314676925686038504449562413004562382,\na[15,2]=0.0000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,3]=0.0000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,4]=0.0000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,5]=0.0000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,6]=0.0000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,7]=0.0 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15,8]= 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[15, 9]=0.0869469392016685948675400555583947505833954460930940959577347,\na [15,10]=-0.01916496304101498422864366117914050532871700766023376735876 81,\na[15,11]=0.006556291594936632873648715732442445160348287552537460 24098838,\na[15,12]=0.098747612812743478090379852867403389973892496800 6632201445462,\na[15,13]=0.0053536469552499605508326017361556740871711 0247274021056118319,\na[15,14]=0.3011678640109679168370913038170516769 20059229784957479998077,\na[16,1]=0.2284104339177780995471154128930043 98779136994596948545722283,\na[16,2]=0.0000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000,\na[16,3]=0.0000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000,\na[16,4]=0.0000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000,\na[16,5]=0.0000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000,\na[16,6]=0.0000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000,\na[16,7]=0.0000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000,\na[16,8]=0.0000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000,\na[16,9]=-0.498707400 793025250635016567442511512138603770959682292383042,\na[16,10]=0.13484 1168335724478552596703792570104791700727205981058201689,\na[16,11]=-0. 0387458244055834158439904226924029230935161059142806805674360,\na[16,1 2]=-1.27473257473474844240388430824908952380979292713250350199641,\na[ 16,13]=1.43916364462877165201184452437038081875299303577911839630524, \na[16,14]=-0.21400746796799025421950354082734956963902809234481279549 9026,\na[16,15]=0.9582024177544302398927241391097813710599088746051536 48768037,\na[17,1]=2.0022247765597420361424964601250674712144030622571 1721209798,\na[17,2]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000,\na[17,3]=0.00000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000,\na[17,4]=0.00000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000,\na[17,5]=0.00000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000,\na[17,6]=0.00000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000,\na[17,7]=0.00000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000,\na[17,8]=0.00000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000,\na[17,9]=2.06701809961524912091954656 438138595825411859673341600679555,\na[17,10]=0.62397813608613954195747 1279831494466155292316167021080663140,\na[17,11]=-0.046228368550031143 0283203554129062069391947101880112723185773,\na[17,12]=-8.849732883626 49614860075246727118949286604835457092701094630,\na[17,13]=7.742577078 50855976227437225791835589560188590785037197433615,\na[17,14]=-0.58835 8519250869210993353314127711745644125882130941202896436,\na[17,15]=-1. 10683733362380649395704708016953056176195769617014899442903,\na[17,16] =-0.929529037579203999778397238291233214220788057511899747507074,\na[1 8,1]=3.13789533412073442934451608989888796808161259330322100268310,\na [18,2]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \na[18,3]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00,\na[18,4]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000,\na[18,5]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000,\na[18,6]=0.1291469419001764619707595794827465511228717515014 82634045487,\na[18,7]=1.5307363810231129507634256614321493903117750411 2433874313011,\na[18,8]=0.57787476112914005254675134945457671533489210 0418571882718036,\na[18,9]=5.42088263055126683050056840891857421941300 558851862156403363,\na[18,10]=0.23154692603482930487266380087764366090 4880180835945693836936,\na[18,11]=0.0759292995578913560162301311785251 873561801342333194895292058,\na[18,12]=-12.372997338018651328741455340 2595806591349822617535905976253,\na[18,13]=9.8545588346476954393595720 9317369202080367765721777101906955,\na[18,14]=0.0859111431370436529579 357709052367772889980495122329601159540,\na[18,15]=-5.6524275286264392 1117182090081762761180392602644189218673969,\na[18,16]=-1.943009352428 19610883833776782364287728724899124166920477873,\na[18,17]=-0.12835260 1849404542018428714319344620742146491335612353559923,\na[19,1]=1.38360 054432196014878538118298167716825163268489922519995564,\na[19,2]=0.000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[19,3]=0. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[19,4] =0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[19 ,5]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na [19,6]=0.0049952822664553236019779340842069280040589114940681409195581 0,\na[19,7]=0.39791823881982899734173960300134715608343506093142497082 6304,\na[19,8]=0.42793021075257661106819260830089798155824073058039640 6312359,\na[19,9]=-1.3029910742447577091655143912304757334207147599839 9645982146,\na[19,10]=0.6612922786693770290971125281075130727345734122 94008071500699,\na[19,11]=-0.14455977430695434976596939368870346390058 5822441545655530145,\na[19,12]=-6.965760347317982034678538674610839193 56792248105919255460819,\na[19,13]=6.658085432359917483534082955422104 50632193197576935120716437,\na[19,14]=-1.66997375108841486404695805725 510845049807969199236227575796,\na[19,15]=2.06413702318035263832289040 301832647130604651223986452170089,\na[19,16]=-0.6747439626443064718629 58129570837723192079875998405058648892,\na[19,17]=-0.00115618834794939 500490703608435907610059605754935305582045729,\na[19,18]=-0.0054405790 8677007389319819914241631024660726585015012485938593,\na[20,1]=0.95123 6297048287669474637975894973552166903378983475425758226,\na[20,2]=0.00 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[20,3]=0 .000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[20,4 ]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[2 0,5]=0.217050632197958486317846256953159942875916353757734167684657,\n a[20,6]=0.013745579207596675981290780183504819059444399093940853084291 8,\na[20,7]=-0.0661095317267682844455831341498149531672668252085016565 917546,\na[20,8]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000,\na[20,9]=0.152281696736414447136604697040747131921486432699 422112099617,\na[20,10]=-0.3377410183575998408023007931339980043546434 24457539667670080,\na[20,11]=-0.01928259816339957815349491992868244004 69353110630787982121133,\na[20,12]=-3.68259269696866809932409015535499 603576312120746888880201882,\na[20,13]=3.16197870406982063541533528419 683854018352080342887002331312,\na[20,14]=-0.3704625221068852907169918 56022051125477943482284080569177386,\na[20,15]=-0.05149742003654404349 96434456698127984941168616474316871020314,\na[20,16]=-0.00082962553212 0152946787043541792848416659382675202720677536554,\na[20,17]=0.0000027 9801041419278598986586589070027583961355402640879503213503,\na[20,18]= 0.0418603916412360287969841020776788461794119440689356178942252,\na[20 ,19]=0.279084255090877355915660874555379649966282167560126269290222,\n a[21,1]=0.103364471650010477570395435690481791543342708330349879244197 ,\na[21,2]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000,\na[21,3]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000,\na[21,4]=0.124053094528946761061581889237115328211074784955180 298044074,\na[21,5]=0.483171167561032899288836480451962508724109257517 289177302380,\na[21,6]=-0.03875302456947632520856814437676205803957333 02341368038804290,\na[21,7]=0.0000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000,\na[21,8]=-0.438313820361122420391059788940960176 420682836652600698580091,\na[21,9]=0.000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000,\na[21,10]=-0.2186366337216766476851114850 17151199362509373698288330593486,\na[21,11]=-0.03123347643947192299816 34995206440349766174759626578122323015,\na[21,12]=0.000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000,\na[21,13]=0.00000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000,\na[21,14]=0.0000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[21,15]=0.000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[21,16]=0.00 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[21,17]= 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[21, 18]=0.0312334764394719229981634995206440349766174759626578122323015,\n a[21,19]=0.21863663372167664768511148501715119936250937369828833059348 6,\na[21,20]=0.4383138203611224203910597889409601764206828366526006985 80091,\na[22,1]=0.1933333333333333333333333333333333333333333333333333 33333333,\na[22,2]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000,\na[22,3]=0.2200000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000,\na[22,4]=-0.080000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000,\na[22,5]=0.00000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000,\na[22,6]=0.00000000000000000000000000000000000 0000000000000000000000000,\na[22,7]=0.09842561304993159281529002868560 48243348202521491288575952143,\na[22,8]=-0.196410889223054653446526504 390100417677539095340135532418849,\na[22,9]=0.000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000,\na[22,10]=0.43645793049306872939 1826122587949137609670676712525034763317,\na[22,11]=0.0652613721675721 098560370939805555698350543810708414716730270,\na[22,12]=0.00000000000 0000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[22,13]=0.0000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[22,14]=0.000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[22,15]=0 .000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[22,1 6]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[ 22,17]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \na[22,18]=-0.06526137216757210985603709398055556983505438107084147167 30270,\na[22,19]=-0.43645793049306872939182612258794913760967067671252 5034763317,\na[22,20]=0.1964108892230546534465265043901004176775390953 40135532418849,\na[22,21]=-0.09842561304993159281529002868560482433482 02521491288575952143,\na[23,1]=-0.216049382716049382716049382716049382 716049382716049382716049,\na[23,2]=0.771604938271604938271604938271604 938271604938271604938271605,\na[23,3]=0.000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000,\na[23,4]=0.000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000,\na[23,5]=-0.66666666666666666666666 6666666666666666666666666666666666667,\na[23,6]=0.00000000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000,\na[23,7]=-0.3906964692959784 51446999802258495981249099665294395945559163,\na[23,8]=0.0000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000,\na[23,9]=0.0000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[23,10]=0.000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[23,11]=0.00 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[23,12]= 0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[23, 13]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na [23,14]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ,\na[23,15]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000,\na[23,16]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000,\na[23,17]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000,\na[23,18]=0.00000000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000,\na[23,19]=0.0000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000,\na[23,20]=0.000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000,\na[23,21]=0.39069646929597845144699980225849 5981249099665294395945559163,\na[23,22]=0.6666666666666666666666666666 66666666666666666666666666666667,\na[24,1]=0.2000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000,\na[24,2]=0.0000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000,\na[24,3]=-0.164609053497942386 831275720164609053497942386831275720164609,\na[24,4]=0.000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,5]=0.000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,6]=0.000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,7]=0.000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,8]=0.000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,9]=0. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,10 ]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[2 4,11]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \na[24,12]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000,\na[24,13]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000,\na[24,14]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000,\na[24,15]=0.000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000,\na[24,16]=0.00000000000000000000000000000000000000000 0000000000000000000,\na[24,17]=0.0000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000,\na[24,18]=0.000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000,\na[24,19]=0.00000000000000000000000000000 0000000000000000000000000000000,\na[24,20]=0.0000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000,\na[24,21]=0.000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000,\na[24,22]=0.00000000000000000 0000000000000000000000000000000000000000000,\na[24,23]=0.1646090534979 42386831275720164609053497942386831275720164609,\na[25,1]=1.4717872488 1110408452949550989023611293535315518571691939396,\na[25,2]=0.78750000 0000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[25,3]=0.42129 6296296296296296296296296296296296296296296296296296296,\na[25,4]=0.00 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[25,5]=0 .291666666666666666666666666666666666666666666666666666666667,\na[25,6 ]=0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000,\na[2 5,7]=0.348600717628329563206854421629657569274689947367847465753757,\n a[25,8]=0.229499544768994849582890233710555447073823569666506700662510 ,\na[25,9]=5.790464857904819791598319781770034710982795060367224113331 92,\na[25,10]=0.418587511856506868874073759426596207226461447604248151 080016,\na[25,11]=0.30703988022247400264965381749010669038925148231321 3999386651,\na[25,12]=-4.687009053506033322142563446838532480655744157 94742040470287,\na[25,13]=3.135716655938022621520381523998738565543954 36199962915429076,\na[25,14]=1.401348297109657208175105062756204410558 45017313930508348898,\na[25,15]=-5.52931101439499023629010306005764336 421276055777658156400910,\na[25,16]=-0.8531382355080633493095468949747 84906188927508039552519557498,\na[25,17]=0.103575780373610140411804607 167772795518293914458500175573749,\na[25,18]=-0.1404744169506009411425 46901202132534870665923700034957196546,\na[25,19]=-0.41858751185650686 8874073759426596207226461447604248151080016,\na[25,20]=-0.229499544768 994849582890233710555447073823569666506700662510,\na[25,21]=-0.3486007 17628329563206854421629657569274689947367847465753757,\na[25,22]=-0.29 1666666666666666666666666666666666666666666666666666666667,\na[25,23]= -0.421296296296296296296296296296296296296296296296296296296296,\na[25 ,24]=-0.787500000000000000000000000000000000000000000000000000000000, \n\nb[1]=0.02380952380952380952380952380952380952380952380952380952380 95,\nb[2]=0.0234375000000000000000000000000000000000000000000000000000 000,\nb[3]=0.031250000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000,\nb[4]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000,\nb[5]=0.04166666666666666666666666666666666666666666666666666666 66667,\nb[6]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000,\nb[7]=0.0500000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000,\nb[8]=0.050000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000,\nb[9]=0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000 0000000,\nb[10]=0.1000000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000,\nb[11]=0.071428571428571428571428571428571428571428571428571 4285714286,\nb[12]=0.0000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000,\nb[13]=0.138413023680782974005350203145033146748813640089 941234591267,\nb[14]=0.21587269060493131170893551114068113896547207419 5773051123019,\nb[15]=0.2438095238095238095238095238095238095238095238 09523809523810,\nb[16]=0.215872690604931311708935511140681138965472074 195773051123019,\nb[17]=0.13841302368078297400535020314503314674881364 0089941234591267,\nb[18]=-0.071428571428571428571428571428571428571428 5714285714285714286,\nb[19]=-0.100000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000,\nb[20]=-0.0500000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000,\nb[21]=-0.0500000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000,\nb[22]=-0.0416666666666666666666666666666 666666666666666666666666666667,\nb[23]=-0.0312500000000000000000000000 000000000000000000000000000000000,\nb[24]=-0.0234375000000000000000000 000000000000000000000000000000000000,\nb[25]=0.02380952380952380952380 95238095238095238095238095238095238095\}:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "errterm s12_25 := PrincipalErrorTerms(12,25):\nnops(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"&'[7" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "errterms12 := PrincipalErrorTerms(1 2):\nnops(%);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#\"&'[7" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "The procedure " } {TEXT 0 19 "convert/Matrix_form" }{TEXT -1 128 " converts an order con dition given in abreviated form into an expression involving matrices \+ which evaluates the order condition." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "I t is necessary to set up appropriate matrices in order to use this pro cedure." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 161 "A := Matrix([seq([seq(a[i,j],j=1..i-1),seq(0,j=i..25 )],i=1..25)]):\nB := Matrix([[seq(b[i],i=1..25)]]):\nC := LinearAlgebr a[DiagonalMatrix]([0,seq(c[i],i=2..25)]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "A_ := subs(ee,A): \+ B_ := subs(ee,B): C_ := subs(ee,C):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#------------------------------------ ----------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 143 "Evaluati ng using matrix multiplication is more efficient except towards the en d of the list where there are relatively few summations involved." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "st := time():\nerrterms12_25[1];\nsubs(Sum=add,%):\nsubs(`union`( \{c[1]=0.\},ee),%):\nvalue(%);\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&-%$SumG6$*&&%\"bG6#%\"iG\"\"\"-F%6$*&&%\"aG6$F+%\"jGF ,-F%6$*&&F16$F3%\"kGF,-F%6$*&&F16$F9%\"lGF,-F%6$*&&F16$F?%\"mGF,-F%6$* &&F16$FE%\"nGF,-F%6$*&&F16$FK%\"pGF,-F%6$*&&F16$FQ%\"qGF,-F%6$*&&F16$F W%\"rGF,-F%6$*&&F16$Fgn%\"sGF,-F%6$*&&F16$F]o%\"tGF,-F%6$*&&F16$Fco%\" uGF,&%\"cG6#FioF,/Fio;F,,&FcoF,F,!\"\"F,/Fco;F,,&F]oF,F,F`pF,/F]o;F,,& FgnF,F,F`pF,/Fgn;F,,&FWF,F,F`pF,/FW;F,,&FQF,F,F`pF,/FQ;F,,&FKF,F,F`pF, /FK;F,,&FEF,F,F`pF,/FE;F,,&F?F,F,F`pF,/F?;F,,&F9F,F,F`pF,/F9;F,,&F3F,F ,F`pF,/F3;F,,&F+F,F,F`pF,/F+;F,\"#DF,#F,\"++3-FiF`p" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#$\"ItZiPI#f75wJW'y+heG')e5!#[" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"'CY8!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 84 "st := time():\nerrterms12[1];\nconv ert(%,'Matrix_form',A_,B_,C_):\nvalue(%);\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,&*&%\"bG\"\"\"-%!G6#*&%\"aGF&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+ F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F(6#*&F+F&-F (6#*&F+F&-F(6#*&F+F&%\"cGF&F&F&F&F&F&F&F&F&F&F&F&F&#F&\"++3-Fi!\"\"" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"IL!Gw.Bf75wJW'y+heG')e5!#[" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"$$f!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#------------------------------ ----------------------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 150 "The following calculations compare the t imes required by the two different methods in different regions in the list of order 12 principal error terms." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "They indicate that it is advantageous to use the matrix method ove r virtually the whole list." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 188 "st := time():\nee_ := `union`(\{c[ 1]=0.\},ee):\nsm := 0:\nfor ct from 11600 to 11700 do\n dd := subs(S um=add,errterms12_25[ct]):\n tt := subs(ee_,dd);\n sm := sm+tt^2; \nend do:\nsm;\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"I$3EH l7l:>M]au'psSe%*QJ!#e" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&%)H%!\"$ " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 150 "st := time():\nsm := 0:\nfor ct from 11600 to 11700 \+ do\n dd := convert(errterms12[ct],'Matrix_form',A_,B_,C_);\n sm := sm+dd^2;\nend do:\nsm;\ntime()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #$\"Ii5'Hl7l:>M]au'psSe%*QJ!#e" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"& `u#!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#---------------------------------------------------------------- " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 188 "st := time():\nee_ := `union`(\{c[1]=0.\},ee):\nsm := 0:\nfor ct from 11800 to 11900 do\n dd := subs(Sum=add,errterms12_25[ct]): \n tt := subs(ee_,dd);\n sm := sm+tt^2;\nend do:\nsm;\ntime()-st; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"Ie'>Xjo\\.$z)z#)yfPyNL:&H!#e" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&jX#!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 150 "st := time( ):\nsm := 0:\nfor ct from 11800 to 11900 do\n dd := convert(errterms 12[ct],'Matrix_form',A_,B_,C_);\n sm := sm+dd^2;\nend do:\nsm;\ntime ()-st;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"I')pYM'o\\.$z)z#)yfPyNL:& H!#e" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"&>d#!\"$" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "#---------------------- ------------------------------------------" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 1 ";" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "#--------------- ---------------------------------------------------------------------- " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "4 0 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }{RTABLE_HANDLES 41639272 42034324 42422708 42878632 43341984 43662576 44482884 43050108 44661832 42540700 43483616 43651968 44412960 }{RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/41639272X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("""(&%"bG6#"""&F(6#""#&F(6#"" $&F(6#""%&F(6#""&&F(6#""'&F(6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/42034324X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!&%"aG6$""#"""&F)6$""$F ,&F)6$""%F,&F)6$""&F,&F)6$""'F,&F)6$""(F,F'F'&F)6$F/F+&F)6$F2F+&F)6$F5F+&F)6$F8 F+&F)6$F;F+F'F'F'&F)6$F2F/&F)6$F5F/&F)6$F8F/&F)6$F;F/F'F'F'F'&F)6$F5F2&F)6$F8F2 &F)6$F;F2F'F'F'F'F'&F)6$F8F5&F)6$F;F5F'F'F'F'F'F'&F)6$F;F8F'F'F'F'F'F'F'6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/42422708X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!F'F'F'F'F'F'F'&%"cG6#" "#F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""$F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""%F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""&F'F'F'F'F'F 'F'&F)6#""'F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/42878632X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("(""-%".G6"F'F'F'F'F'F'F) } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/43341984X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("""(&%"bG6#"""&F(6#""#&F(6#"" $&F(6#""%&F(6#""&&F(6#""'&F(6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/43662576X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!&%"aG6$""#"""&F)6$""$F ,&F)6$""%F,&F)6$""&F,&F)6$""'F,&F)6$""(F,F'F'&F)6$F/F+&F)6$F2F+&F)6$F5F+&F)6$F8 F+&F)6$F;F+F'F'F'&F)6$F2F/&F)6$F5F/&F)6$F8F/&F)6$F;F/F'F'F'F'&F)6$F5F2&F)6$F8F2 &F)6$F;F2F'F'F'F'F'&F)6$F8F5&F)6$F;F5F'F'F'F'F'F'&F)6$F;F8F'F'F'F'F'F'F'6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/44482884X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!F'F'F'F'F'F'F'&%"cG6#" "#F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""$F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""%F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""&F'F'F'F'F'F 'F'&F)6#""'F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/43050108X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("("""""F'F'F'F'F'F'6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/44661832X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("""(&%"bG6#"""&F(6#""#&F(6#"" $&F(6#""%&F(6#""&&F(6#""'&F(6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/42540700X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!&%"aG6$""#"""&F)6$""$F ,&F)6$""%F,&F)6$""&F,&F)6$""'F,&F)6$""(F,F'F'&F)6$F/F+&F)6$F2F+&F)6$F5F+&F)6$F8 F+&F)6$F;F+F'F'F'&F)6$F2F/&F)6$F5F/&F)6$F8F/&F)6$F;F/F'F'F'F'&F)6$F5F2&F)6$F8F2 &F)6$F;F2F'F'F'F'F'&F)6$F8F5&F)6$F;F5F'F'F'F'F'F'&F)6$F;F8F'F'F'F'F'F'F'6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/43483616X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#R"("(""!F'F'F'F'F'F'F'&%"cG6#" "#F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""$F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""%F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""&F'F'F'F'F'F 'F'&F)6#""'F'F'F'F'F'F'F'&F)6#""(6" } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/43651968X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("(""-%".G6"F'F'F'F'F'F'F) } {RTABLE M7R0 I5RTABLE_SAVE/44412960X,%)anythingG6"6"[gl!"%!!!#("("""""F'F'F'F'F'F'6" }